📐 Примеры решения рациональных уравнений. Задание №9 ОГЭ

Разберем решение нескольких рациональных уравнений, которые могут попасться на ОГЭ. Более подробный разбор алгоритма решения рациональных уравнений можете изучить тут.

📌 Пример 1. Решите уравнение

\[ \frac{9}{x - 2} = \frac{9}{2}. \]

Решение. Чтобы избавиться от всех знаменателей, домножим уравнение на \( 2 \cdot (x - 2) \). Запишем ОДЗ: \( x - 2 \neq 0 \) или \( x \neq 2 \).

Решим уравнение:

\[ \frac{9}{x-2} = \frac{9}{2} \quad \mid \cdot 2(x-2) \] \[ \frac{9 \cdot 2(x-2)}{x-2} = \frac{9 \cdot 2(x-2)}{2} \] \[ 9 \cdot 2 = 9(x-2) \] \[ 18 = 9x - 18 \] \[ 9x = 36 \] \[ x = 4. \]

Ответ: \(4\).

📌 Пример 2. Решите уравнение

\[ \frac{x - 4}{x - 6} = 2. \]

Решение. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим уравнение на \( x - 6 \).
Запишем ОДЗ: \( x - 6 \neq 0 \) или \( x \neq 6 \).

Решим уравнение:

\[ \frac{x - 4}{x - 6} = 2 \quad \mid \cdot (x - 6) \] \[ \frac{(x - 4)(x - 6)}{x - 6} = 2(x - 6) \] \[ x - 4 = 2x - 12 \] \[ x = 8. \]

Ответ: \(8\).

📌 Пример 3. Решите уравнение

\[ \frac{3}{x-19} = \frac{19}{x-3}. \]

Решение. Чтобы избавиться от всех знаменателей, домножим уравнение на \((x - 19) \cdot (x - 3)\). Запишем ОДЗ: \(x - 19 \neq 0\) или \(x \neq 19\) и \(x - 3 \neq 0\) или \(x \neq 3\).

Решим уравнение:

\[ \frac{3}{x-19} = \frac{19}{x-3} \quad \mid \cdot (x-19)(x-3) \] \[ \frac{3(x-19)(x-3)}{x-19} = \frac{19(x-19)(x-3)}{x-3} \] \[ 3(x-3) = 19(x-19) \] \[ 3x - 9 = 19x - 361 \] \[ 16x = 352 \] \[ x = 22. \]

Ответ: \(22\).

📌 Пример 4. Решите уравнение

\[ \frac{6}{x - 1} = -x. \]

В ответ запишите больший корень.

Решение. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим уравнение на \( x - 1 \).
Запишем ОДЗ: \( x - 1 \neq 0 \) или \( x \neq 1 \).

Решим уравнение:

\[ \frac{6}{x - 1} = -x \quad \mid \cdot (x - 1) \] \[ 6 = -x(x - 1) \] \[ 6 = -x^2 + x \] \[ x^2 - x - 6 = 0. \]

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через теорему Виета:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1, \\ x_1 \cdot x_2 = -6. \end{cases} \]

Откуда получаем решения: \(-2\) и \(3\). Большим корнем является число \(3\).

Ответ: \(3\).

🧠 Главные правила решения рациональных уравнений:

Найти ОДЗ — значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей.
Решить полученное уравнение (линейное или квадратное).
Проверить, входят ли найденные корни в ОДЗ. Корни, не входящие в ОДЗ, отбрасываются.