📐 Рациональные уравнения

Рациональное уравнение — это вид уравнения, в котором присутствует дробь, и переменная \( x \) находится в знаменателе этой дроби. Приведем пример рациональных уравнений:

\[ \frac{1}{x} - 1 = 0, \quad \frac{x + 2}{x + 3} = 7, \quad \frac{x - 3}{x^2 - 9} + \frac{x + 3}{x - 3} + 4 = x + 5. \]

Как решать такие уравнения? Здесь надо избавиться от знаменателя. То есть надо умножить все уравнение на выражение, находящееся в знаменателе (чтобы знаменатель сократился). Давайте разберем это на конкретном примере.

📌 Пример 1. Решим уравнение

\[ \frac{4x + 2}{x + 3} = 6. \]

Решение. В левой части уравнения находится дробь со знаменателем \( x + 3 \). Умножим все уравнение на \( x + 3 \) и получим линейное уравнение.

Перед тем как домножать на \( x + 3 \) надо сделать важное замечание.

⚠️ Замечание. Еще с начальных классов мы знаем, что на ноль делить нельзя. Что представляет из себя дробь – это действие деления. То есть дробь \(\frac{4}{2}\) это тоже самое, что \( 4 : 2 = 2 \). Значит, в знаменателе дроби также не может быть нуля.

В нашем примере дана дробь со знаменателем \( x + 3 \). Мы не можем сказать, чему точно равно это выражение (при различных значениях переменной выражение будет постоянно меняться). Но мы можем определить, при каких значениях \( x \) это выражение обратится в нуль. То есть надо решить уравнение:

\[ x + 3 = 0; \] \[ x = -3. \]

Значит, при \( x = -3 \) дробь не будет существовать, потому что знаменатель будет равен нулю. Следовательно, уравнение при таком \( x \) решить нельзя.

Для чего мы нашли это значение переменной. В конце решения уравнения бывает получается несколько корней, и один из этих корней может обратить знаменатель в нуль. Следовательно, такой корень не будет являться решением.

Запомнили, что \( x \) не может быть равен \(-3\). Решим уравнение:

\[ \frac{4x + 2}{x + 3} = 6 \quad \mid \cdot (x + 3) \] \[ (x + 3) \cdot \frac{4x + 2}{x + 3} = 6(x + 3); \] \[ 4x + 2 = 6x + 18. \]

После домножения на выражение \(x + 3\) мы привели рациональное уравнение к линейному. Решаем полученное линейное уравнение:

\[ 4x + 2 = 6x + 18; \] \[ 4x - 6x = 18 - 2; \] \[ -2x = 16; \] \[ x = -8. \]

Поскольку \(-8\) не равно \(-3\), значит, \(x = -8\) — решение исходного уравнения.

Ответ: \(-8\).

📌 Пример 2. Решим уравнение

\[ \frac{1}{x} + \frac{x}{x+2} = 1. \]

Решение. В данном уравнении присутствует две дроби с разными знаменателями — \(x\) и \(x+2\). Надо избавиться от них, то есть надо домножить уравнение на \(x \cdot (x+2)\).

Найдем, при каких \(x\) знаменатели обращаются в нуль. При \(x=0\) и при \(x+2=0\) или \(x=-2\).

Запомним, что \(x\) не может быть равен \(-2\) и \(0\). Решим уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{x}{x+2} = 1 \quad \mid \cdot x(x+2) \] \[ \frac{x(x+2)}{x} + \frac{x \cdot (x+2)}{x+2} = x(x+2); \] \[ x + 2 + x^2 = x^2 + 2x; \] \[ x = 2. \]

Поскольку \(2\) не равно \(-2\) и \(0\), значит, \(x=2\) — решение исходного уравнения.

Ответ: \(2\).

📘 Примечание. Когда мы ищем, при каких переменных мы можем решать уравнение, мы ищем так называемое ОДЗ (область допустимых значений).

📌 Определение. Область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых данное выражение определено.

То есть ОДЗ уравнения во втором примере является \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \). То есть при всех \( x \), кроме \(-2\) и \(0\), уравнение имеет смысл.

📌 Пример 3. Решите уравнение

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x^2 + 1}{x(x+1)}. \]

Решение. Домножим уравнение на \( x \cdot (x+1) \). Запишем ОДЗ: \( x \neq 0 \) и \( x+1 \neq 0 \) или \( x \neq -1 \).

Решим уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x^2 + 1}{x(x+1)} \quad \mid \cdot x(x+1) \] \[ \frac{x(x+1)}{x} + \frac{x(x+1)}{x+1} = \frac{x(x+1)(x^2 + 1)}{x(x+1)} \] \[ x + 1 + x = x^2 + 1; \] \[ x^2 - 2x = 0; \] \[ x(x-2) = 0. \]

Откуда имеем два решения \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Но в ОДЗ мы записали, что \( x \neq 0 \). Значит, решением будет только \( x = 2 \).

Ответ: \(2\).

🧠 Алгоритм решения рациональных уравнений:

Найти ОДЗ — значения переменной, при которых знаменатели не равны нулю.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей.
Решить полученное уравнение (линейное или квадратное).
Проверить, входят ли найденные корни в ОДЗ. Корни, не входящие в ОДЗ, отбрасываются.