Задание №6 ЕГЭ по профильной математике: статистика. Разбор всех типов задач: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение.

Задачи по статистике для ЕГЭ

Задания на проверку понятий: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение.

📌 НОВОЕ ЗАДАНИЕ ЕГЭ

В экзаменационную модель ЕГЭ по математике профильного уровня добавлено новое задание по статистике (задание №6). Оно проверяет умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины.

Задачи, представленные ниже, составлены исходя из спецификации нового задания. Точные формулировки задач появятся в открытом банке ФИПИ в апреле, но уже сейчас можно тренироваться на похожих заданиях.

📖 Перейти к теории по статистике

1 ЗАДАЧА (демоверсия-2027)

Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:

Выигрыш (в рублях)	100	1000	5000	10 000	50 000
Число выигрышных билетов	500	100	50	10	1

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

📝 Решение

Запишем все вероятности каждого выигрыша.

Выигрыш в сто рублей находится в пятистах билетах. Всего билетов 10 000. Вероятность равна \(p(100) = \frac{500}{10000} = 0,05\). Найдем остальные вероятности:

\[ p(1000) = \frac{100}{10000} = 0,01; \quad p(5000) = \frac{50}{10000} = 0,005; \] \[ p(10000) = \frac{10}{10000} = 0,001; \quad p(50000) = \frac{1}{10000} = 0,0001 \]

В данном задании просят найти математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Сейчас мы посчитаем, сколько можно в среднем получить денег, если вытянуть выигрышный билет. То есть учитывать билет без выигрыша не нужно. Получим:

\[ M(X) = 100 \cdot 0,05 + 1000 \cdot 0,01 \] \[ \quad + 5000 \cdot 0,005 + 10000 \cdot 0,001 + 50000 \cdot 0,0001 \] \[ = 5 + 10 + 25 + 10 + 5 = 55. \]

Ответ: 55

Важный комментарий:

Полученное значение \(M(X) = 55\) рублей — это средний выигрыш в расчёте на один выигрышный билет.

Однако если рассматривать все проданные билеты, включая те, которые не принесли выигрыша, картина становится иной: вероятность выиграть крайне мала, а в долгосрочной перспективе покупка таких билетов экономически невыгодна.

⚠️ Вывод: организаторы лотереи всегда остаются в плюсе, а игроки в среднем теряют деньги.

2 ЗАДАЧА

Случайная величина \(X\) задана рядом распределения:

\(x_i\)	1	3	5	7
\(p_i\)	0,1	0,3	0,4	0,2

Найдите дисперсию \(D(X)\).

📝 Решение

Сначала найдём математическое ожидание:

\[ M(X) = 1\cdot0,1 + 3\cdot0,3 + 5\cdot0,4 + 7\cdot0,2 = \] \[ = 0,1 + 0,9 + 2,0 + 1,4 = 4,4. \]

Найдём \(M(X^2):\)

\[ M(X^2) = 1^2\cdot0,1 + 3^2\cdot0,3 + 5^2\cdot0,4 + 7^2\cdot0,2 = \] \[ = 0,1 + 2,7 + 10,0 + 9,8 = 22,6. \]

Дисперсия равна

\[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 22,6 - (4,4)^2 = 22,6 - 19,36 = 3,24. \]

Ответ: 3,24.

3 ЗАДАЧА

Случайная величина \(X\) задана рядом распределения:

\(x_i\)	2	4	6	8
\(p_i\)	0,2	0,3	0,4	0,1

Найдите стандартное отклонение \(\sigma(X)\). Ответ округлите до сотых.

📝 Решение

Математическое ожидание:

\[ M(X) = 2\cdot0,2 + 4\cdot0,3 + 6\cdot0,4 + 8\cdot 0,1 = \] \[ = 0,4 + 1,2 + 2,4 + 0,8 = 4,8. \]

Найдем \(M(X^2)\):

\[ M(X^2) = 4\cdot0,2 + 16\cdot0,3 + 36\cdot0,4 + 64\cdot0,1 = \] \[ = 0,8 + 4,8 + 14,4 + 6,4 = 26,4. \]

Дисперсия равна

\[ D(X) = 26,4 - (4,8)^2 = 26,4 - 23,04 = 3,36. \]

Таким образом, вычислим стандартное отклонение:

\[ \sigma(X) = \sqrt{3,36} \approx 1,833 \approx 1,83. \]

Ответ: 1,83

4 ЗАДАЧА

В коробке лежат 10 шариков: 3 красных, 4 синих и 3 зелёных. Стоимость шариков: красный — 10 руб., синий — 15 руб., зеленый — 20 руб. Найдите вероятность того, что стоимость шарика больше 12 рублей.

📝 Решение

В данной задаче нас интересуют шары, которые стоят больше 12 рублей, то есть синие и зеленые. Вычислим вероятности того, какой шар нам может достаться, и запишем ряд распределения.

Ряд распределения \(X\):

\(x_i\)	10	15	20
\(p_i\)	0,3	0,4	0,3

Вероятность того, что стоимость больше 12 рублей:

\[ P(X > 12) = P(X = 15) + P(X = 20) = 0,4 + 0,3 = 0,7 \]

Ответ: 0,7

5 ЗАДАЧА

В студенческой группе 20 человек. Вероятность того, что случайно выбранный студент сдаст экзамен на «отлично», равна 0,2; на «хорошо» — 0,4; на «удовлетворительно» — 0,3; на «неудовлетворительно» — 0,1. За каждый балл студент получает: «отлично» — 5 баллов, «хорошо» — 4 балла, «удовлетворительно» — 3 балла, «неудовлетворительно» — 2 балла. Найдите математическое ожидание оценки случайно выбранного студента.

📝 Решение

Составим ряд распределения случайной величины \(X\).

Случайная величина \(X\) — это оценка студента. Возможные значения: 2, 3, 4, 5.

\(x_i\)	2	3	4	5
\(p_i\)	0,1	0,3	0,4	0,2

Найдём математическое ожидание \(M(X):\)

\[ M(X) = 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,4 + 5 \cdot 0,2 = \] \[ = 0,2 + 0,9 + 1,6 + 1,0 = 3,7. \]

Ответ: 3,7

6 ЗАДАЧА

В магазине проводится акция: при покупке товара покупатель получает скидку. Вероятность получить скидку 10% равна 0,4, скидку 20% — 0,3, скидку 30% — 0,2, а скидку 50% — 0,1. Случайная величина \(X\) — размер скидки в процентах. Найдите стандартное отклонение скидки. Ответ округлите до десятых.

📝 Решение

Шаг 1. Составим ряд распределения случайной величины \(X\).

Случайная величина \(X\) — размер скидки в процентах. Возможные значения: 10, 20, 30, 50.

\(x_i\)	10	20	30	50
\(p_i\)	0,4	0,3	0,2	0,1

Найдём математическое ожидание \(M(X):\)

\[ M(X) = 10 \cdot 0,4 + 20 \cdot 0,3 + 30 \cdot 0,2 + 50 \cdot 0,1 = \] \[ = 4 + 6 + 6 + 5 = 21. \]

Найдём \(M(X^2)\):

\[ M(X^2) = 10^2 \cdot 0,4 + 20^2 \cdot 0,3 + 30^2 \cdot 0,2 + 50^2 \cdot 0,1 = \] \[ = 100 \cdot 0,4 + 400 \cdot 0,3 + 900 \cdot 0,2 + 2500 \cdot 0,1 = \] \[ = 40 + 120 + 180 + 250 = 590. \]

Найдем дисперсию \(D(X):\)

\[ D(X) = 590 - (21)^2 = 590 - 441 = 149. \]

Таким образом, стандартное отклонение равно

\[ \sigma(X) = \sqrt{149} \approx 12,206 \approx 12,2. \]

Ответ: 12,2

7 ЗАДАЧА

Дискретная случайная величина \(X\) задана законом распределения:

\(x_i\)	\(-2\)	\(-1\)	\(3\)	\(8\)	\(9\)
\(p_i\)	\(4p\)	\(0,2\)	\(0,3\)	\(p\)	\(0,4\)

Найдите значение \(p\).

📝 Решение

Вспомним, что сумма всех вероятностей в ряде распределения всегда равна 1. Тогда можно составить уравнение:

\[ 4p + 0,2 + 0,3 + p + 0,4 = 1 \] \[ 0,9 + 5p = 1 \] \[ 5p = 0,1 \] \[ p = 0,02 \]

Ответ: 0,02

8 ЗАДАЧА (из сборника И.В. Ященко)

Пластиковые бутылки с питьевой водой продаются поштучно, либо упаковками по 8 или 12 штук. Известно, что в среднем 76 покупателей из 100 эту воду не покупают, 12 покупают одну бутылку, 4 человека — упаковку, в которой 8 бутылок, и 8 человек берут упаковку, в которой 12 бутылок. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество бутылок в одной покупке».

📝 Решение

Определим, какие значения принимает случайная величина \(X\) — количество бутылок в одной покупке:

\(0\) — покупатель не купил воду;
\(1\) — купил одну бутылку;
\(8\) — купил упаковку из 8 бутылок;
\(12\) — купил упаковку из 12 бутылок.

Найдём вероятности каждого значения:

не купили: \(p(0) = \frac{76}{100} = 0,76\);
одна бутылка: \(p(1) = \frac{12}{100} = 0,12\);
упаковка 8 шт.: \(p(8) = \frac{4}{100} = 0,04\);
упаковка 12 шт.: \(p(12) = \frac{8}{100} = 0,08\).

Составим таблицу распределения:

\(x_i\)	0	1	8	12
\(p_i\)	0,76	0,12	0,04	0,08

Найдём математическое ожидание:

\[ M(X) = 0 \cdot 0,76 + 1 \cdot 0,12 + 8 \cdot 0,04 + 12 \cdot 0,08 \] \[ = 0 + 0,12 + 0,32 + 0,96 = 1,4. \]

Ответ: 1,4

9 ЗАДАЧА (из сборника И.В. Ященко)

Страховая компания заключает с клиентами страховые договоры (полисы). При наступлении страхового случая клиент получает выплату 700 тысяч рублей. Вероятность события «выплата по отдельно взятому договору» равна 0,02. Математическое ожидание случайной величины «доход страховой компании от продажи одного полиса» равно 1000 рублей. Найдите стоимость полиса в рублях.

📝 Решение

Обозначим стоимость полиса за \(S\) рублей.

Тогда доход компании от одного полиса — случайная величина \(X\), которая может принимать два значения:

Если страховой случай не наступил (вероятность \(1 - 0,02 = 0,98\)) — компания оставляет себе всю стоимость полиса: \(x_1 = S\).
Если страховой случай наступил (вероятность \(0,02\)) — компания получает \(S\), но выплачивает клиенту 700 000 руб., поэтому её доход равен: \(x_2 = S - 700\,000\).

Составим таблицу распределения случайной величины \(X\):

\(x_i\)	\(S\)	\(S - 700\,000\)
\(p_i\)	0,98	0,02

По условию математическое ожидание дохода равно 1000 руб. Запишем формулу \(M(X) = \sum x_i p_i\) и подставим полученные значения. Решим уравнение:

\[ 0,98 \cdot S + 0,02 \cdot (S - 700\,000) = 1000; \] \[ 0,98 S + 0,02 S - 0,02 \cdot 700\,000 = 1000; \] \[ S - 14\,000 = 1000; \] \[ S = 15\,000. \]

Ответ: 15 000

10 ЗАДАЧА (из сборника И.В. Ященко)

Известно, что случайная величина \(Y\) подчиняется распределению:

\(y_i\)	0	2	4	6	8	10
\(p_i\)	0,2	0,15	0,05	0,25	0,1	0,25

Найдите вероятность события \(2 < Y \le 11\).

📝 Решение

Событие \(2 < Y \le 11\) означает, что случайная величина приняла значения, строго большие 2 и не превосходящие 11.

Из таблицы подходят значения: \(Y = 4,\) \(Y = 6,\) \(Y = 8,\) \(Y = 10\).

Сложим их вероятности:

\[ P(2 < Y \le 11) = P(Y = 4) + P(Y = 6) + P(Y = 8) + P(Y = 10) = \] \[ = 0,05 + 0,25 + 0,1 + 0,25 = 0,65. \]

Ответ: 0,65

📌 Важные формулы и свойства для решений задач по статистике:

Математическое ожидание: \(M(X) = \sum x_i p_i\)
Дисперсия: \(D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\)
Стандартное отклонение: \(\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\)
Сумма всех вероятностей в ряде распределения всегда равна 1

📚 Тестирование по заданию №6 ЕГЭ по профильной математике

Проверь свои знания по статистике — пройди тест с ответами

Пройти тест