Задачи по статистике для ЕГЭ
В экзаменационную модель ЕГЭ по математике профильного уровня добавлено новое задание по статистике (задание №6). Оно проверяет умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины.
Задачи, представленные ниже, составлены исходя из спецификации нового задания. Точные формулировки задач появятся в открытом банке ФИПИ в апреле, но уже сейчас можно тренироваться на похожих заданиях.
Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом:
| Выигрыш (в рублях) | 100 | 1000 | 5000 | 10 000 | 50 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Число выигрышных билетов | 500 | 100 | 50 | 10 | 1 |
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Запишем все вероятности каждого выигрыша.
Выигрыш в сто рублей находится в пятистах билетах. Всего билетов 10 000. Вероятность равна \( p(100) = \frac{500}{10000} = 0,05. \) Найдем остальные вероятности:
В данном задании просят найти математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Сейчас мы посчитаем, сколько можно среднем получить денег, если вытянуть выигрышный билет. То есть учитывать билет без выигрыша не нужно. Получим:
Ответ: 55
Случайная величина \(X\) задана рядом распределения:
| \(x_i\) | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Найдите дисперсию \(D(X)\).
Сначала найдём математическое ожидание:
Найдём \(M(X^2) :\)
Дисперсия равна
Ответ: 3,24.
Случайная величина \(X\) задана рядом распределения:
| \(x_i\) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
Найдите стандартное отклонение \(\sigma(X)\). Ответ округлите до сотых.
Математическое ожидание:
Найдем \(M(X^2)\):
Дисперсия равна
Таким образом, вычислим стандартное отклонение:
Ответ: 1,83
В коробке лежат 10 шариков: 3 красных, 4 синих и 3 зелёных. Стоимость шариков: красный — 10 руб., синий — 15 руб., зеленый — 20 руб. Найдите вероятность того, что стоимость шарика больше 12 рублей.
В данной задаче нас интересуют шары, которые стоят больше 12 рублей, то есть синие и зеленые. Вычислим вероятности того, какой шар нам может достаться, и запишем ряд распределения.
Ряд распределения \(X\):
| \(x_i\) | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|
| \(p_i\) | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
Вероятность того, что стоимость больше 12 рублей:
Ответ: 0,7
В студенческой группе 20 человек. Вероятность того, что случайно выбранный студент сдаст экзамен на «отлично», равна 0,2; на «хорошо» — 0,4; на «удовлетворительно» — 0,3; на «неудовлетворительно» — 0,1. За каждый балл студент получает: «отлично» — 5 баллов, «хорошо» — 4 балла, «удовлетворительно» — 3 балла, «неудовлетворительно» — 2 балла. Найдите математическое ожидание оценки случайно выбранного студента.
Составим ряд распределения случайной величины \(X\).
Случайная величина \(X\) — это оценка студента. Возможные значения: 2, 3, 4, 5.
| \(x_i\) | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Найдём математическое ожидание \(M(X):\)
Ответ: 3,7
В магазине проводится акция: при покупке товара покупатель получает скидку. Вероятность получить скидку 10% равна 0,4, скидку 20% — 0,3, скидку 30% — 0,2, а скидку 50% — 0,1. Случайная величина \(X\) — размер скидки в процентах. Найдите стандартное отклонение скидки. Ответ округлите до десятых.
Шаг 1. Составим ряд распределения случайной величины \(X\).
Случайная величина \(X\) — размер скидки в процентах. Возможные значения: 10, 20, 30, 50.
| \(x_i\) | 10 | 20 | 30 | 50 |
|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Найдём математическое ожидание \(M(X):\)
Найдём \(M(X^2)\):
Найдем дисперсию \(D(X):\)
Таким образом, стандартное отклонение равно
Ответ: 12,2
Дискретная случайная величина \(X\) задана законом распределения:
| \(x_i\) | \(-2\) | \(-1\) | \(3\) | \(8\) | \(9\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | \(4p\) | \(0,2\) | \(0,3\) | \(p\) | \(0,4\) |
Найдите значение \(p\).
Вспомним, что сумма всех вероятностей в ряде распределения всегда равна 1. Тогда можно составить уравнение:
Ответ: 0,02
- Математическое ожидание: \(M(X) = \sum x_i p_i\)
- Дисперсия: \(D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\)
- Стандартное отклонение: \(\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\)
- Сумма всех вероятностей в ряде распределения всегда равна 1
Важный комментарий:
Полученное значение \( M(X) = 55 \) рублей — это средний выигрыш в расчёте на один выигрышный билет.
Однако если рассматривать все проданные билеты, включая те, которые не принесли выигрыша, картина становится иной: вероятность выиграть крайне мала, а в долгосрочной перспективе покупка таких билетов экономически невыгодна.
⚠️ Вывод: организаторы лотереи всегда остаются в плюсе, а игроки в среднем теряют деньги.