Статистика для ЕГЭ. Основные понятия
📖 Содержание
Введение: что такое статистика
В ЕГЭ по математике профильного уровня добавлено новое задание по статистике. Оно проверяет умение пользоваться понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины.
Что такое статистика?
Это раздел математики, который изучает сбор, анализ и интерпретацию данных. В контексте теории вероятностей и статистики очень часто встречается понятие случайные величины — переменные, значения которых зависят от случая.
Статистические методы позволяют нам описывать и анализировать случайные процессы, делать выводы на основе имеющихся данных и прогнозировать будущие события.
Ознакомимся с этими понятия и разберем на конкретных примерах.
1. Случайная величина
Пример. Бросают игральный кубик. Возможны 6 исходов: выпадение чисел от 1 до 6. Вероятность каждого исхода равна \(\frac16 \).
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p\) | \(\frac16 \) | \(\frac16 \) | \(\frac16 \) | \(\frac16 \) | \(\frac16 \) | \(\frac16 \) |
Определение: принимает конечное или счётное число значений (их можно перечислить).
📌 Примеры:
- Число выпавших орлов при 10 бросках монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, …, 10. Каждое значение соответствует конкретному исходу серии бросков.
- Оценка на экзамене (если шкала 2, 3, 4, 5). Это конечный набор значений.
Определение: принимает целый интервал значений — бесконечное несчётное множество.
📌 Примеры:
- Время, за которое спортсмен пробегает 100 метров. Допустим, результат лежит в диапазоне 10–12 секунд, и он может быть любым числом в этом интервале (10,437 с, 11,02 с и т.п.).
- Температура воздуха в полдень. Она может меняться плавно: 23,1 °C, 23,15 °C и т.д.
В новом задании ЕГЭ скорее всего будут встречаться дискретные случайные величины
В школьной благотворительной лотерее разыгрываются призы: 1 планшет (стоимостью 15 000 руб.), 3 наушника (по 3 000 руб.), 5 подарочных сертификатов в книжный магазин (по 1000 руб.) и 10 сувенирных ручек (по 200 руб.). Всего выпущено 500 билетов, каждый стоит 100 руб. Составьте закон распределения случайной величины чистого выигрыша (с учетом стоимости билета) для участника, купившего один билет.
Решение.
Общее число выигрышных билетов: \( 1 + 3 + 5 + 10 = 19. \) Невыигрышных: \( 500 − 19 = 481.\)
Первое событие, которое с большей вероятностью произойдет — это то, что мы купим билет и ничего не заработаем, а только отдадим 😊. То есть первый исход \( x_1 = -100 \) наступит с вероятностью \( \frac{481}{500} = 0,962. \) Во втором исходе мы заработаем \( 200 - 100 = 100 \) рублей с вероятностью \( \frac{10}{500} = 0,02. \) Составим ряд распределения для всех исходов.
Ряд распределения \(X\):
| \(x_i\) | -100 | 100 | 900 | 2 900 | 14 900 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | \( \frac{481}{500} = 0,962 \) | \( \frac{10}{500} = 0,02 \) | \( \frac{5}{500} = 0,01 \) | \( \frac{3}{500} = 0,006 \) | \( \frac{1}{500} = 0,002 \) |
2. Распределение вероятностей
Общий вид ряда распределения:
| \(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\dots\) | \(x_n\) |
|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\dots\) | \(p_n\) |
В примере 1 (лотерея) ряд распределения уже составлен. Это и есть распределение вероятностей случайной величины \(X\). Проверим сумму вероятностей:
Бросают два игральных кубика. Случайная величина \(X\) — сумма выпавших очков. Составьте распределение вероятностей для \(X\).
Решение. Возможные значения суммы: от 2 до 12. Всего 36 равновозможных исходов. Для того, чтобы понять количество исходов для каждой возможной суммы надо перечислить пары выпавших чисел на кубиках:
1) Сумма 2 может выпасть если на кубиках выпали единицы, следовательно, вероятность такого события равна \( \frac{1}{36}. \)
2) Сумма 3 может выпасть если на одном кубике выпала двойка, а на другом единица, и наоборот. Следовательно, вероятность такого события равна \( \frac{2}{36}. \)
3) \( \ldots\)
В итоге получаем следующий ряд распределения:
| \(x_i\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | \( \frac{1}{36} \) | \( \frac{2}{36} \) | \( \frac{3}{36} \) | \( \frac{4}{36} \) | \( \frac{5}{36} \) | \( \frac{6}{36} \) | \( \frac{5}{36} \) | \( \frac{4}{36} \) | \( \frac{3}{36} \) | \( \frac{2}{36} \) | \( \frac{1}{36} \) |
Сумма полученных вероятностей равна 1, следовательно, ряд распределения верный.
3. Математическое ожидание
Смысл математического ожидания: это среднее значение случайной величины, которое она принимает в длительной серии испытаний.
Для лотереи из примера 1 найдите математическое ожидание чистого выигрыша.
Решение. Используем ряд распределения из примера 1:
Ответ: \(M(X) = -38\) руб. Это означает, что в среднем участник теряет 38 рублей с каждого купленного билета.
4. Дисперсия
Для вычислений удобнее использовать формулу:
Смысл дисперсии: она показывает, насколько сильно значения случайной величины разбросаны вокруг среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.
Рассмотрим два ряда:
В обоих среднее арифметическое — 8. Но в первом ряду числа 7, 5, 10, 6, 5, 15 сильно отличаются от восьмерки, значения разбросаны от 5 до 15. А во втором ряду (8, 8, 8, 7, 9, 8) значения держатся ближе к 8 — разброс маленький.
Итог:
Низкая дисперсия — числа плотно сгруппированы вокруг среднего. Данные стабильны, их легко прогнозировать.
Высокая дисперсия — числа сильно разлетаются. Результат менее предсказуем, в данных могут быть выбросы.
Случайная величина \(X\) — число очков при бросании одного игрального кубика. Найдите дисперсию \(D(X)\).
Решение. Ряд распределения: \(x_i = 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6\), все \(p_i = \frac16\).
Сначала найдём математическое ожидание:
Теперь \(M(X^2)\):
Тогда дисперсия:
Ответ: \(D(X) = \frac{105}{36} \approx 2,917\).
5. Стандартное отклонение случайной величины
Смысл стандартного отклонения: это мера разброса случайной величины, выраженная в тех же единицах, что и сама величина. Это делает её более наглядной, чем дисперсия. Например, если рост измеряется в сантиметрах, то дисперсия будет выражена в квадратных сантиметрах, а стандартное отклонение — в тех же сантиметрах, что делает его более удобным для интерпретации.
Два стрелка соревнуются в стрельбе по мишени, разделённой на 10 зон (от 1 до 10 очков). На основе длительных тренировок были установлены вероятности попадания в каждую зону для каждого стрелка. Эти вероятности приведены в таблице.
| Зона | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1-й | 0,02 | 0,03 | 0,05 | 0,08 | 0,10 | 0,12 | 0,15 | 0,18 | 0,12 | 0,15 |
| 2-й | 0,05 | 0,05 | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,15 | 0,15 | 0,10 | 0,10 | 0,10 |
Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение для каждого стрелка. Кто стреляет более стабильно?
Решение. Для 1-го стрелка:
Для 2-го стрелка:
Дисперсии (вычисления опущены для краткости):
📌 Вывод:
Математическое ожидание — это среднее количество очков за один выстрел. У 1-го стрелка: 6,70 очков в среднем за выстрел. У 2-го стрелка: 6,00 очков в среднем за выстрел. Следовательно, первый стрелок в среднем выбивает на 0,70 очков больше за выстрел. Он результативнее, потому что чаще попадает в зоны с бóльшим числом очков (например, в 8, 9 и 10). Однако вместе с этим у первого стрелка стандартное отклонение больше, чем у второго. Это значит, что второй стрелок стабильнее — его результаты меньше отклоняются от среднего значения. Он реже выбивает очень низкие или очень высокие очки.
Ответ: \(M(X)=6,70\), \(M(Y)=6,00\); \(D(X)\approx7,21\), \(D(Y)\approx5,40\); \(\sigma_x\approx2,69\), \(\sigma_y\approx2,32\). Второй стрелок стабильнее.
- Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины.
- Дисперсия — это квадрат разброса значений вокруг среднего.
- Стандартное отклонение — это корень из дисперсии, показывает разброс в тех же единицах, что и сама величина.
- Случайная величина — переменная, принимающая значения случайным образом.
- Распределение вероятностей — таблица (ряд) всех значений и их вероятностей.
- Математическое ожидание — \( M(X) = \sum x_i p_i \).
- Дисперсия — \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \).
- Стандартное отклонение — \( \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \).
📌 В данный момент в банке ФИПИ нет задач по статистике. Из официальных источников известна только одна задача из демоверсии. Эта задача и все возможные типы задач по статистике для задания №6 уже составлены мной и разобраны! Переходите по ссылке и ознакамливаетесь: