Иван ПеровМатематика • ОГЭ • ЕГЭ
← Назад

Что такое производная простыми словами. Приращение аргумента и функции, геометрический и физический смысл, связь с графиком функции. Примеры с решениями.

Что такое производная и зачем она нужна

Производная — это мера изменения функции в точке. Она показывает, насколько быстро меняется \(y\), когда меняется \(x\). Разберём смысл, приращения, геометрическую и физическую интерпретацию — простыми словами и на примерах.

1. Главная идея производной

Производная отвечает на один очень простой вопрос:

f′
«Как быстро меняется функция в данной точке?»

Производная — это мера изменения функции в точке. Она показывает, насколько быстро меняется \(y\), когда меняется \(x\).

Например:

  • если функция — это путь, то производная — это скорость;
  • если функция — это зависимость температуры от времени, то производная — это скорость нагрева;
  • если функция — это прибыль, то производная показывает, как быстро растёт прибыль.

2. Приращение аргумента и функции

Чтобы понять, как функция меняется, нужно уметь измерять это изменение. Для этого вводят понятия приращения аргумента и приращения функции.

Δx

Приращение аргумента

Пусть функция \(y = f(x)\) определена в точках \(x_0\) и \(x_1\). Тогда разность

\[\Delta x = x_1 - x_0\]

называется приращением аргумента.

Δy

Приращение функции

Разность

\[\Delta y = f(x_1) - f(x_0)\]

называется приращением функции.

Приращение аргумента и приращение функции
Рис. 1. Приращение аргумента и приращение функции.

Как читать рисунок:

  • \(\Delta x\) — это горизонтальное смещение от точки \(x_0\) до \(x_1\);
  • \(\Delta y\) — это вертикальное смещение от значения \(y_0\) до \(y_1\).

Отношение \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) показывает, насколько изменилась функция при изменении аргумента на \(\Delta x\). Это средняя скорость изменения функции на этом промежутке.

Как получается формула для приращения

По определению приращение функции — это разность между новым и старым значениями функции. Разберём это на примере.

Пример

Приращение функции \(y = 2x\)

Значение функции в исходной точке \(x\):

\[y(x) = 2x.\]

При переходе к новой точке аргумент увеличивается на \(\Delta x\), значит новое значение аргумента равно \(x + \Delta x\). Подставим это в функцию:

\[y(x + \Delta x) = 2(x + \Delta x).\]

Приращение функции — это разность нового и старого значений:

\[\Delta y = y(x + \Delta x) - y(x).\]

Подставим наши выражения:

\[\Delta y = 2(x + \Delta x) - 2x.\]

Раскроем скобки и приведём подобные:

\[\Delta y = 2x + 2\Delta x - 2x = 2\Delta x.\]

Ответ: \(\Delta y = 2\Delta x\).

Общая формула. Для любой функции \(y = f(x)\) приращение находится по формуле:

\[\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x).\]
Пример на приращение

Приращение \(f(x) = -\dfrac{2}{x}\) в точке \(x_0 = -2\)

Найдём приращение функции \(f(x) = -\dfrac{2}{x}\) в точке \(x_0 = -2\), если \(\Delta x = 0{,}1\).

Новое значение аргумента:

\[x = x_0 + \Delta x = -2 + 0{,}1 = -1{,}9.\]

Значение функции в исходной точке \(x_0 = -2\):

\[f(x_0) = -\frac{2}{-2} = 1.\]

Значение функции в новой точке \(x = -1{,}9\):

\[f(x_0 + \Delta x) = -\frac{2}{-1{,}9} = \frac{20}{19}.\]

Приращение функции:

\[\Delta f = \frac{20}{19} - 1 = \frac{1}{19}.\]

Ответ: \(\Delta f = \dfrac{1}{19}\).

3. Производная как скорость изменения

Если мы возьмём приращение \(\Delta x\) всё меньше и меньше, то отношение \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) будет приближаться к некоторому числу. Это число и называется производной.

lim
Определение производной

Производной функции \(f\) в точке \(x_0\) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}\]

Пояснение. Значок \(\lim\) означает «предел». То есть мы смотрим, к какому числу стремится дробь \(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\), когда \(\Delta x\) становится очень маленьким. Важно понимать смысл: производная — это мгновенная скорость изменения функции.

Обозначения производной:

\[f'(x), \qquad y', \qquad \frac{dy}{dx}.\]
Пример производной

Производная \(y = 2x\) через предел

Сначала найдём приращение функции:

\[\Delta y = y(x + \Delta x) - y(x) = 2(x + \Delta x) - 2x = 2\Delta x.\]

Теперь отношение \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\):

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2\Delta x}{\Delta x} = 2.\]

Предел при \(\Delta x \to 0\):

\[y' = \lim_{\Delta x \to 0} 2 = 2.\]

Ответ: \((2x)' = 2\).

4. Что происходит с графиком: рост и падение

Производная тесно связана с поведением графика функции. По её знаку можно сразу понять, куда движется график.

↗

\(f'(x) > 0\)

Функция возрастает на промежутке.

↘

\(f'(x) < 0\)

Функция убывает на промежутке.

→

\(f'(x) = 0\)

Функция «остановилась»: здесь может быть максимум или минимум.

Возрастание и убывание функции График функции с участками возрастания и убывания, отмечены экстремумы x₁ и x₂. x y O x₁ x₂ f'(x) > 0 возрастает f'(x) < 0 убывает f'(x) > 0 возрастает
Рис. 2. Возрастание и убывание функции.

Простая аналогия. Представьте, что вы едете на машине:

  • спидометр показывает положительную скорость — вы движетесь вперёд (функция растёт);
  • спидометр показывает отрицательную скорость — вы движетесь назад (функция убывает);
  • спидометр показывает 0 — вы остановились (экстремум).

5. Точки максимума и минимума

В точках, где функция перестаёт расти и начинает падать (или наоборот), производная равна нулю. Такие точки называют точками экстремума.

▲

Точка максимума

Точка, в которой функция достигает наибольшего значения на некотором участке (горка).

▼

Точка минимума

Точка, в которой функция достигает наименьшего значения на некотором участке (впадина).

Точки максимума и минимума График функции с отмеченными точкой максимума x₁ и точкой минимума x₂, в которых производная равна нулю. x y O максимум f'(x₁) = 0 x₁ минимум f'(x₂) = 0 x₂
Рис. 3. Точки максимума и минимума.

Важно! В точках максимума и минимума производная равна нулю. Именно это используется в задачах на оптимизацию: чтобы найти наибольшее или наименьшее значение, нужно найти точки, где производная равна нулю, и проверить, есть ли в них максимум или минимум.

Пример производной

Производная \(y = x^3\)

Приращение функции:

\[\Delta y = (x + \Delta x)^3 - x^3 = \Delta x(3x^2 + 3x\Delta x + \Delta x^2).\]

Производная:

\[y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x^2 + 3x\Delta x + \Delta x^2) = 3x^2.\]

Ответ: \((x^3)' = 3x^2\).

6. Геометрический смысл: касательная

Если к графику функции в точке \(x = a\) провести касательную (прямую, которая лишь касается графика в этой точке), то производная в этой точке равна угловому коэффициенту этой касательной.

k
\(f'(a) = \operatorname{tg}\alpha = k\)

где \(\alpha\) — угол наклона касательной к оси \(Ox\), \(k\) — угловой коэффициент касательной.

Касательная к графику функции График функции, касательная в точке с абсциссой a и угол наклона α. x y O y = f(x) касательная α a (a; f(a)) f'(a) = tg α = k
Рис. 4. Касательная к графику функции.

Простыми словами: производная показывает, насколько «круто» идёт график в данной точке. Если производная большая — график идёт резко вверх. Если производная отрицательная — график идёт вниз.

7. Физический смысл: скорость

Если известна зависимость пути от времени \(s = s(t)\), то производная этой функции — это мгновенная скорость движения в момент времени \(t\).

v
\(v(t) = s'(t)\)

Производная пути по времени даёт мгновенную скорость.

Аналогично:

  • производная скорости — это ускорение: \(a(t) = v'(t)\);
  • производная количества товара — это скорость производства;
  • производная прибыли — это скорость роста прибыли.
Пример производной

Скорость машины по закону \(s(t) = t^2\)

Машина движется по закону \(s(t) = t^2\) (путь в метрах, время в секундах). Найдём скорость в момент \(t = 3\) секунды.

Скорость — это производная пути:

\[v(t) = s'(t) = (t^2)' = 2t.\]

В момент \(t = 3\):

\[v(3) = 2 \cdot 3 = 6\ \text{м/с}.\]

Ответ: 6 м/с.