Что такое дробь. Нахождение части от числа

Для начала приведем пример какой-нибудь дроби. Например,

\[ \frac{3}{4} \]

Что означает такая запись? Во-первых, черта между верхним и нижним числом означает деление. То есть данная дробь представляет собой действие три разделить на четыре.

Сразу стоит пояснить, как такие дроби называть. Сначала читают числитель дроби, потом знаменатель. Например,

\(\frac{1}{3}\) — одна третья; \(\frac{2}{5}\) — две пятых; \(\frac{7}{17}\) — семь семнадцатых и т. д.

Зачем нам нужно записывать такое действие как деление в виде дроби?

Дробь — это часть числа.

Что значит часть числа? Разберем дробь подробнее. Верхнее и нижнее число дроби имеет свои названия. Верхнее число называется числителем, нижнее — знаменателем.

Определение 1. Знаменатель — это число, находящееся в нижней части дроби (знаменатель означает общее количество частей).

Определение 2. Числитель — это число, находящееся в верхней части дроби (числитель означает сколько частей взято из общего количества частей).

Покажем на наглядных примерах, что такое дробь и как она работает.

📌 Пример 1.

Допустим, у нас есть прямоугольник, который разрезали на пять частей. Далее, из этих пяти частей возьмем 2 части.

Получается мы взяли \(\frac{2}{5}\) прямоугольника (см. рисунок).

📌 Пример 2.

Велосипедист проехал по шоссе 40 км. Через три четвертых (3/4) пути он заехал в магазин. На каком расстоянии велосипедист заехал в магазин?

Решение. Сделаем рисунок.

Пусть велосипедист ехал из пункта \( A \) в пункт \( B \). Расстояние от \( A \) до \( B \) по условию задачи равно 40 км.

Поскольку через три четвертых пути он заехал в магазин, разделим отрезок \( AB \) на 4 части. Вспомним, что знаменатель означает общее количество частей, значит, четыре части на отрезке будут составлять 40 км. Нам нужно узнать, сколько километров составляет три части из четырех. Чтобы найти это, вычислим, сколько километров составляет одна часть из четырех. Для этого надо 40 км разделить на 4. Получим, что 1 часть = 10 км.

Следовательно, три части из четырех будут равны 3 · 10 = 30 км. Таким образом, велосипедист заехал в магазин на расстоянии 30 км.

Данное решение можно записать следующим образом: \((40 : 4) \cdot 3 = 30\) км.

Сделаем вывод. Во всех задачах, где нужно найти часть какого-либо числа, нужно разделить общее количество на знаменатель, а потом умножить на числитель.

📌 Пример 3.

В классе обучаются 25 учеников. Девочки составляют три пятых (3/5) всего класса. Сколько девочек обучается в классе.

Решение. Имеем: \((25 : 5) \cdot 3 = 15\) девочек.

Ответ: 15 девочек.

📘 Замечание. Вычисление можно записать другим образом, просто умножив общее количество на дробь, то есть \[ \frac{3}{5} \cdot 25 = 15. \]

📌 Пример 4.

Туристы должны преодолеть путь равный 100 км. В первый день они планируют пройти две пятых пути, а во второй день оставшуюся часть. Какое расстояние они планируют преодолеть во второй день?

Решение. Найдем какое расстояние они преодолеют, пройдя две пятых пути.

\[ 100 \cdot \frac{2}{5} = 40 \, \text{км}. \]

Следовательно, во второй день туристы планируют пройти \( 100 - 40 = 60 \, \text{км}. \)

📘 Замечание. Задачу можно решить другим способом. Поскольку в первый день туристы планируют пройти две пятых пути, то во второй день они преодолеют три пятых пути (см. рисунок).

Следовательно, во второй день туристы планируют пройти

\[ 100 \cdot \frac{3}{5} = 60 \, \text{км}. \]

📚 Задачи для самостоятельного решения

📌 Задача 1.

В зрительном зале 60 мест. Из них зрителями занято три четвертых (3/4) мест. Сколько мест в зрительном зале занято?

📌 Задача 2.

Учителю на проверку сдали 24 работы. За один день он смог проверить пять шестых (5/6) всех работ. Сколько учителю осталось проверить работ?

📌 Задача 3.

В корзине лежит 30 цветных шариков. Из них одна треть (1/3) желтых шариков, одна пятая (1/5) зеленых шариков и все остальные красные шарики. Сколько в корзине красных шариков?

📌 Посмотреть ответы (проверь себя)

Задача 1: \((60 : 4) \cdot 3 = 45\) мест. Ответ: 45 мест.

Задача 2: Проверил: \((24 : 6) \cdot 5 = 20\) работ. Осталось: \(24 - 20 = 4\) работы. Ответ: 4 работы.

Задача 3: Желтых: \((30 : 3) \cdot 1 = 10\); зеленых: \((30 : 5) \cdot 1 = 6\); красных: \(30 - 10 - 6 = 14\). Ответ: 14 красных шариков.

🧠 Главный вывод: Чтобы найти дробь от числа, нужно число разделить на знаменатель (узнать, сколько приходится на одну часть) и умножить на числитель (сколько таких частей взяли). Или сразу умножить число на эту дробь.