📐 Углы. Виды углов. Смежные и вертикальные углы

Давайте дадим определение углу. Угол — это фигура, состоящая из двух лучей, которые выходят из одной точки (см. рис.).

На рисунке \( AB \) и \( BC \) — лучи, образующие угол \( ABC \) (также этот угол можно назвать какой-нибудь цифрой или греческой буквой).

Рассмотрим какие бывают углы. Разделяют углы по их градусной мере. То есть если угол имеет градусную меру меньше 90 градусов, то такой угол называется острый, если градусная мера больше 90 градусов — тупой. Если угол равен 90 градусов, то он называется прямым.

Иллюстрация острого, прямого и тупого углов

Также есть развернутый угол, который равен 180 градусам. Данный угол образует прямую.

Развернутый угол \( 180^\circ \)

Рассмотрим следующий случай. Допустим, у нас есть две прямые и они пересекаются в какой-нибудь точке. Что мы видим. Эти прямые образовали четыре угла (\( \angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4 \)).

Пересекающиеся прямые: \( \angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4 \)

На данном рисунке угол 1 и угол 3, угол 2 и угол 4 — вертикальные углы; угол 1 и угол 2, угол 3 и угол 4 — смежные углы. Давайте дадим определение вертикальным и смежным углам.

📌 Определение 1. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла.

То есть у нас был угол α (нарисован синим цветом). Далее мы продлили стороны этого угла (нарисовано красным цветом).

Красные прямые образовали угол β. Углы α и β являются вертикальными.

📖 Комментарий. Приведенные греческие буквы читаются следующим образом: α — альфа, β — бета.

📐 Теорема 1. Вертикальные углы равны.

То есть, поскольку углы α и β являются вертикальными, то они равны.

📌 Определение 2. Два угла называются смежными, если у этих двух углов одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжением друг друга.

Нарисуем прямую (синий цвет). И на этой прямой от какой-нибудь точки проведем луч (красный цвет). Углы α и β являются смежными.

Смежные углы α и β

📐 Теорема 2. Сумма смежных углов равна 180 градусов.

А почему же их сумма равна 180°? Тут все достаточно просто. Синим цветом мы провели прямую линию. Мы уже знаем, что прямая – это развернутый угол равный 180°. И далее мы взяли этот развернутый угол и поделили красной прямой на два угла — α и β. Мы все доказали!

📌 Пример 1. На рисунке найдите угол 1 и угол 2.

Рисунок к примеру

Решение. Нам дан угол с градусной мерой 120. Угол 1 является вертикальным этому углу, значит, угол 1 равен 120°. Угол 1 и угол 2 — смежные углы, значит, их сумма равна 180°. Следовательно, угол 2 будет равен \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

\[ \angle 1 = 120^\circ, \quad \angle 2 = 60^\circ. \]

📚 Задания для самостоятельного решения

📌 Задание 1.

Исходя из рисунка, укажите, какие углы являются вертикальными, а какие смежными.

📌 Задание 2.

На рисунке найдите угол \( \alpha \).

📌 Задание 3.

На рисунке найдите угол \( \alpha \).

📌 Посмотреть ответы (проверь себя)

Задание 1: Подсказка: вертикальные углы равны, смежные в сумме дают 180°.

Задание 2: Подсказка: используйте свойства вертикальных и смежных углов.

Задание 3: Подсказка: используйте свойства вертикальных и смежных углов.

🧠 Главные правила:

Вертикальные углы равны.
Смежные углы в сумме дают 180°.
Острый угол < 90°, прямой = 90°, тупой > 90°, развёрнутый = 180°.