📐 Треугольники. Сумма углов в треугольнике

📖 Оглавление

Какие бывают треугольники?
Сумма углов в треугольнике

Какие бывают треугольники?

Треугольники встречаются почти в каждой геометрической задаче, поэтому очень важно знать, что это за геометрическая фигура, какие виды треугольников существуют, какие свойства у треугольников бывают и т.д.

📌 Определение. Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, которые соединены между собой отрезками.

На рисунке точки \( A, B \) и \( C \) — вершины треугольника, отрезки \( AB, BC \) и \( AC \) — стороны треугольника.

Треугольники бывают: разносторонние, равнобедренные, равносторонние и прямоугольные.

1) Разносторонний треугольник

Треугольник, у которого все стороны разной длины.

2) Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого две стороны равны (равные бедра). Также у него равны углы при основании. Стороны \( AB \) и \( BC \) — бедра треугольника, \( AC \) — основание треугольника.

3) Равносторонний треугольник

Треугольник, у которого все три стороны равны. Также у него равны все углы.

4) Прямоугольный треугольник

Треугольник, у которого есть прямой угол (то есть угол равный 90°).

Сумма углов в треугольнике

📐 Теорема о сумме углов в треугольнике.

Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).

То есть для какого-нибудь треугольника \( ABC \) будет справедливо \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \).

Разберем несколько примеров, в которых нужно использовать данную теорему.

📌 Пример 1. На рисунке найдите угол \( B \).

Решение. Воспользуемся теоремой о сумме углов в треугольнике. Имеем:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ; \] \[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 37^\circ - 66^\circ = 77^\circ. \]

Ответ: \( 77^\circ \).

📌 Пример 2. На рисунке найдите угол \( B \).

Решение. На рисунке изображен равнобедренный треугольник (стороны \( AB \) и \( AC \) равны), значит, углы при основании равны, то есть угол \( C \) равен углу \( A \).
Воспользуемся теоремой о сумме углов в треугольнике. Имеем:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ; \] \[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 80^\circ - 80^\circ = 40^\circ. \]

Ответ: \( 40^\circ \).

📌 Пример 3. На рисунке найдите угол \( A \).

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ; \] \[ \angle A + \angle B + \angle A = 180^\circ; \] \[ 2\angle A = 180^\circ - \angle B; \] \[ 2\angle A = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ; \] \[ \angle A = 65^\circ. \]

Ответ: \( 65^\circ \).

📌 Пример 4. На рисунке найдите угол \( A \).

Решение. Чтобы найти угол \( A \) в треугольнике \( ABC \), нужно знать, чему равны два других угла. Угол \( B \) нам известен, надо найти угол \( C \). Размерная величина \( 123^\circ \) — это внешний угол треугольника при вершине \( C \). Для того, чтобы найти угол \( C \), нужно знать, что такое смежные углы. По свойству смежных углов имеем:

\[ \angle C + 123^\circ = 180^\circ \] \[ \angle C = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ. \]

Далее воспользуемся теоремой о сумме углов в треугольнике. Имеем:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ; \] \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 68^\circ - 57^\circ = 55^\circ. \]

Ответ: \( 55^\circ \).

🧠 Главные правила:

Сумма углов любого треугольника равна 180°.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.