Что такое вероятность, основные определения и базовые задачи с решениями

Теория вероятностей. Основные понятия

Что такое вероятность, основные определения и базовые задачи с решениями

В математике есть задачи на теорию вероятностей. Это задачи, где нужно найти вероятность какого-то события: выпадения орла, вытягивания нужного шара, попадания в цель и т.п.

В этой статье разберём, что такое вероятность, как её находить и решим несколько базовых задач.

1. Что такое вероятность

Вероятность — это число, которое показывает, насколько возможно то или иное событие.

📌 Определение. Вероятность события — это число от \( 0 \) до \( 1 \), которое показывает, какую долю составляют благоприятные исходы среди всех возможных исходов.

Например:

если событие точно произойдёт, его вероятность равна \( 1 \);
если событие точно не произойдёт, его вероятность равна \( 0 \);
если событие может произойти или не произойти, его вероятность — между \( 0 \) и \( 1 \).

Чем ближе вероятность к \( 1 \), тем более вероятно событие. Чем ближе к \( 0 \), тем менее вероятно.

2. Основные понятия

📌 Испытание (эксперимент) — это действие, которое может повторяться неопределённое количество раз при неизменных условиях

📌 Исход — это результат испытания. Например, при броске кубика возможные исходы: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6.

📌 Событие — это то, что нас интересует. Например: «выпало чётное число», «выпал орёл», «вытянули красный шар».

📌 Благоприятный исход — это исход, при котором наше событие происходит. Например, если событие — «выпало чётное число», то благоприятные исходы: 2, 4, 6.

📌 Равновозможные исходы — это исходы, у которых одинаковые шансы произойти. Например, при броске обычного кубика все 6 исходов равновозможны.

3. Формула вероятности

Если все исходы равновозможны, то вероятность события находится по формуле:

\[ P = \frac{m}{n}, \]

где:

\( m \) — число благоприятных исходов (когда событие происходит);
\( n \) — число всех возможных исходов.

📘 Как решать задачи на вероятность:

Определить, что является испытанием и что — событием.
Найти \( n \) — число всех возможных исходов.
Найти \( m \) — число благоприятных исходов.
Подставить в формулу: \( P = \dfrac{m}{n} \).

4. Свойства вероятности

1. Вероятность всегда находится в промежутке от 0 до 1:

\[ 0 \le P \le 1. \]

2. Вероятность невозможного события равна 0:

\[ P = 0. \]

3. Вероятность достоверного события (которое точно произойдёт) равна 1:

\[ P = 1. \]

4. Сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.

5. Примеры задач

Задача 1. Монету бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет орёл.

Решение.

При броске монеты возможны два исхода: орёл или решка. Значит, всего исходов:

\[ n = 2. \]

Благоприятный исход только один — выпадение орла. Значит:

\[ m = 1. \]

По формуле вероятности:

\[ P = \frac{m}{n} = \frac{1}{2} = 0{,}5. \]

Ответ: \( 0{,}5 \).

Задача 2. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность того, что выпадет число больше 4.

Решение.

При броске кубика возможны 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит:

\[ n = 6. \]

Числа больше 4 — это 5 и 6. Значит, благоприятных исходов два:

\[ m = 2. \]

По формуле вероятности:

\[ P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]

Ответ: \( \dfrac{1}{3} \).

Задача 3. В урне лежат 3 красных и 7 синих шаров. Наугад вынимают один шар. Найдите вероятность того, что он окажется красным.

Решение.

Всего шаров:

\[ n = 3 + 7 = 10. \]

Красных шаров — 3, значит:

\[ m = 3. \]

По формуле вероятности:

\[ P = \frac{m}{n} = \frac{3}{10} = 0{,}3. \]

Ответ: \( 0{,}3 \).

Задача 4. В коробке лежат карточки с числами от 1 до 20. Наугад вынимают одну карточку. Найдите вероятность того, что на ней написано число, кратное 3.

Решение.

Всего карточек 20, значит:

\[ n = 20. \]

Числа, кратные 3, от 1 до 20: это 3, 6, 9, 12, 15, 18. Их 6 штук, значит:

\[ m = 6. \]

По формуле вероятности:

\[ P = \frac{m}{n} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0{,}3. \]

Ответ: \( 0{,}3 \).

Главное, что нужно запомнить:

\[ \text{Вероятность} = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{число всех исходов}} \]