📐 Степень числа. Свойства степеней

📖 Оглавление

Степень числа
Свойства степеней

Степень числа

Для начала приведем определение степени из какого-нибудь учебника.

📌 Определение 1. Степенью \( n \) числа \( a \) является произведение множителей величиной \( a \) раз подряд.
Число \( a \) называется основанием степени, число \( n \) называется показателем степени.

А теперь давайте повторим это определение, только простыми словами. Степень числа показывает, сколько раз мы должны умножить число на само себя. Приведем примеры:

\[ 3^2 = 3 \cdot 3 = 9, \] \[ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8, \] \[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ раз}}. \]

📘 Примечание 1. Число в степени 0 всегда равно единице.

\[ a^0 = 1 \quad (a \neq 0). \]

📘 Примечание 2. Число в отрицательной степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем — данное число с положительным показателем.
Пример:

\[ a^{-1} = \frac{1}{a}, \] \[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}. \]

Свойства степеней

Разберем свойства степеней.

Свойство 1. Произведение степеней.

При умножении двух степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются:

\[ a^n \cdot a^m = a^{n+m}, \] \[ 2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32. \]

Докажем это свойство. Воспользуемся определением степени и разберем пример, приведенный выше:

\[ 2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5. \]

Свойство 2. Деление степеней.

При делении двух степеней с одинаковым основанием показатели степеней вычитаются:

\[ a^n : a^m = a^{n-m}, \] \[ 2^4 : 2^2 = 2^{4-2} = 2^2. \]

Докажем это свойство. Воспользуемся определением степени и разберем пример, приведенный выше:

\[ 2^4 : 2^2 = \frac{2^4}{2^2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 2 \cdot 2 = 4. \]

Свойство 3. Возведение степени в степень.

При возведении степени в степень показатели степеней умножаются:

\[ (a^n)^m = a^{n \cdot m}, \] \[ (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64. \]

Свойство 4. Возведение в степень произведения.

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень:

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n, \] \[ (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36. \]

Свойство 5. Возведение в степень дроби.

При возведении в степень дроби числитель и знаменатель возводятся в степень:

\[ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}. \]

Приведем несколько примеров, где используются данные свойства.

📌 Пример 1. Найдите значение выражения \( a^{12} \cdot a^4 : a^{14} \) при \( a = 4 \).

Решение. Воспользуемся первым и вторым свойством и получим:

\[ a^{12} \cdot a^4 : a^{14} = a^{12+4-14} = a^2 = 4^2 = 16. \]

Ответ: 16.

📌 Пример 2. Упростите выражение \((x^2)^5 \cdot (x^5)^2\).

Решение. Упростим:

\[ (x^2)^5 \cdot (x^5)^2 = x^{2 \cdot 5} \cdot x^{5 \cdot 2} = x^{10} \cdot x^{10} = x^{10+10} = x^{20}. \]

📌 Пример 3. Вычислите \(\frac{2^5 \cdot 2^{12}}{(2^3)^5}\).

Решение. Вычислим:

\[ \frac{2^5 \cdot 2^{12}}{(2^3)^5} = \frac{2^{5+12}}{2^{3 \cdot 5}} = \frac{2^{17}}{2^{15}} = 2^{17-15} = 2^2 = 4. \]

Ответ: 4.

🧠 Краткое резюме свойств степеней:

\( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \) — при умножении степени складываются.
\( a^n : a^m = a^{n-m} \) — при делении степени вычитаются.
\( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) — при возведении степени в степень показатели умножаются.
\( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) — степень произведения равна произведению степеней.
\( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \) — степень дроби равна дроби степеней.
\( a^0 = 1 \) (при \( a \neq 0 \)).
\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).