🔢 Простые и составные числа

Введем несколько определений.

📌 Делители числа — это такие числа, на которые можно поделить исходное другое число. Покажем на примере. Рассмотрим число 6. Шесть можно разделить на 1, 2, 3 и 6 — это и есть делители числа.

📌 НОД (наибольший общий делитель). НОД ищется для двух и более чисел. Покажем на примере. Найдем НОД чисел 6 и 8. Для этого выпишем делители этих чисел:

6: 1, 2, 3 и 6;
8: 1, 2, 4 и 8;

Общими делителями шести и восьми являются числа 1 и 2. Наибольшим общим делителем является число 2.

📌 Простое число — число, которое делится на 1 и на само себя, то есть имеет не более двух делителей. Приведем примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

📘 Примечание: Число 1 не является ни простым, ни составным, так как имеет только один делитель.

📌 Составное число — число, которое имеет больше двух делителей. Пример: 4, 6, 8, 9, 10 и т. д.

📘 Примечание: В исходном тексте была опечатка (2 указано как составное). Исправлено: 2 — простое число.

📌 Пример 1. Запишите все делители числа 36. Выделите среди этих делителей простые числа.

Решение. Запишем делители числа 36 и жирным выделим среди них простые числа:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Ответ: простые делители: 2 и 3.

📘 Примечание: В исходном тексте было указано число 35, но далее приведены делители 36. Исправлено на 36.

📐 Основная теорема арифметики.

Любое натуральное число может быть представлено в виде произведения простых чисел, причем единственным образом.

Представим несколько чисел в виде произведения простых чисел:

\[ 10 = 2 \cdot 5, \quad 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3, \quad 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3. \]

Как же понять, какие простые числа записывать в произведении? Для этого мы должны поделить исходное число на наименьшее возможное простое число (кроме 1), и результат деления поделить также на наименьшее возможное простое число, и так до тех пор, пока мы не получим единицу. Покажем на примере "вертикального деления". Запишем в виде произведения простых чисел число 54:

Значит, \( 54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \).

📚 Задания для самостоятельного решения

📌 Задание 1.

Даны следующие числа: 15, 24, 18, 48, 72. Для каждого из этих чисел выпишите их делители и подчеркните среди этих делителей простые числа.

📌 Задание 2.

Найдите наибольший общий делитель следующих пар чисел:

a) НОД (12; 16);

б) НОД (24; 36);

в) НОД (15; 27).

📌 Задание 3.

Запишите все простые числа, которые находятся в диапазоне от 14 до 24.

📌 Задание 4.

Запишите все составные числа, которые находятся в диапазоне от 7 до 14.

📌 Задание 5.

Представьте в виде произведения простых чисел следующие числа:

а) 12;

б) 28;

в) 64;

г) 88.

📌 Посмотреть ответы (проверь себя)

Задание 1:

15: 1, 3, 5, 15 (простые: 3, 5)
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (простые: 2, 3)
18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (простые: 2, 3)
48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 (простые: 2, 3)
72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 (простые: 2, 3)

Задание 2: а) 4; б) 12; в) 3.

Задание 3: 17, 19, 23.

Задание 4: 8, 9, 10, 12, 14.

Задание 5: а) 12 = 2 · 2 · 3; б) 28 = 2 · 2 · 7; в) 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2; г) 88 = 2 · 2 · 2 · 11.

🧠 Краткое резюме:

Простое число — имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
Составное число — имеет более двух делителей.
Число 1 — не простое и не составное.
Любое составное число можно разложить на простые множители.
НОД — наибольшее число, на которое делятся оба числа.