📐 Примеры решения линейных уравнений. Задание №9 ОГЭ

Разберем решение нескольких линейных уравнений, которые могут попасться на ОГЭ.

Более подробный разбор алгоритма решения линейных уравнений можете изучить тут.

📌 Пример 1. Решите уравнение \( 10(x - 9) = 7 \).

Решение. Имеем:

\[ 10(x - 9) = 7 \] \[ 10x - 90 = 7 \] \[ 10x = 7 + 90 \] \[ 10x = 97 \] \[ x = \frac{97}{10} = 9,7 \]

Ответ: \( 9,7 \).

📌 Пример 2. Решите уравнение \( 2 + 3x = -7x - 5 \).

Решение. Имеем:

\[ 2 + 3x = -7x - 5 \] \[ 3x + 7x = -5 - 2 \] \[ 10x = -7 \] \[ x = -\frac{7}{10} = -0,7 \]

Ответ: \( -0,7 \).

📌 Пример 3. Решите уравнение \( -3x + 1 - 3(x + 3) = -2(1 - x) + 2 \).

Решение. Имеем:

\[ -3x + 1 - 3(x + 3) = -2(1 - x) + 2 \] \[ -3x + 1 - 3x - 9 = -2 + 2x + 2 \] \[ -3x - 3x - 2x = -2 + 2 - 1 + 9 \] \[ -8x = 8 \] \[ x = -\frac{8}{8} = -1 \]

Ответ: \( -1 \).

📌 Пример 4. Решите уравнение

\[ \frac{x}{5} + 2x - 4 = 7. \]

Решение. В данном уравнении присутствует обыкновенная дробь. Некоторых такое может ввести в ступор. На самом деле ничего тут трудного нет. Просто надо избавиться от этой дроби, от этого знаменателя. Каким образом? В уравнениях мы можем умножать или делить обе части уравнения одновременно на одно и то же число. На какое число надо домножить обе части, чтобы избавиться от пятерки в знаменателе. Логично, что надо домножить на 5. Давайте это сделаем:

\[ \frac{x}{5} + 2x - 4 = 7 \quad \mid \cdot 5 \] \[ 5 \cdot \left(\frac{x}{5} + 2x - 4\right) = 5 \cdot 7 \] \[ x + 10x - 20 = 35 \] \[ 11x = 55 \] \[ x = 5 \]

Ответ: \( 5 \).

📌 Пример 5. Решите уравнение

\[ \frac{x + 3}{5} = 6 + \frac{x}{2}. \]

Решение. В данном примере уже несколько дробей. Чтобы от всех них избавиться разом, надо домножить на такое число, чтобы знаменатели сократились в каждой дроби. В данном случае надо домножить на 10. Имеем:

\[ \frac{x + 3}{5} = 6 + \frac{x}{2} \quad \mid \cdot 10 \] \[ 10 \cdot \frac{x + 3}{5} = 10 \cdot \left(6 + \frac{x}{2}\right) \] \[ 2(x + 3) = 60 + 5x \] \[ 2x + 6 = 60 + 5x \] \[ 2x - 5x = 60 - 6 \] \[ -3x = 54 \] \[ x = -18 \]

Ответ: \( -18 \).

🧠 Главные правила решения линейных уравнений:

Раскрываем скобки, если они есть.
Переносим все \( x \) в левую часть, числа — в правую (при переносе меняем знак).
Приводим подобные слагаемые.
Делим обе части на коэффициент при \( x \).
Если есть дроби — умножаем обе части на общий знаменатель.