📐 Примеры решения квадратных уравнений. Задание №9 ОГЭ

Разберем решение нескольких квадратных уравнений, которые могут попасться на ОГЭ. Более подробный разбор алгоритма решения квадратных уравнений можете изучить тут.

📌 Пример 1. Решите уравнение

\[ x^2 - 121 = 0. \]

В ответ запишите больший из корней.

Решение. Решим уравнение:

\[ x^2 - 121 = 0; \] \[ x^2 = 121; \] \[ x = \pm \sqrt{121} = \pm 11. \]

Мы получили два решения: \(-11\) и \(11\). Большим корнем является \(11\).

Ответ: \(11\).

📌 Пример 2. Решите уравнение:

\[ x^2 - 3x = 0. \]

В ответ запишите меньший из корней.

Решение. Решим уравнение, разложив на множители:

\[ x^2 - 3x = 0; \] \[ x(x - 3) = 0; \]

Далее получаем два линейных уравнения:

1) имеем: \( x = 0 \);
2) имеем \( x - 3 = 0 \) или \( x = 3 \).

Мы получили два решения: \( 0 \) и \( 3 \). Меньшим корнем является \( 0 \).

Ответ: \( 0 \).

📌 Пример 3. Решите уравнение:

\[ 4x^2 = -x. \]

В ответ запишите больший из корней.

Решение. Решим уравнение, разложив на множители:

\[ 4x^2 = -x; \] \[ 4x^2 + x = 0; \] \[ x(4x + 1) = 0. \]

Далее получаем два линейных уравнения:

1) имеем: \( x = 0 \);
2) имеем \( 4x + 1 = 0 \) или \( 4x = -1 \), откуда \( x = -\frac{1}{4} = -0,25 \).

Мы получили два решения: \(-0,25\) и \(0\). Большим корнем является \(0\).

Ответ: \( 0 \).

📌 Пример 4. Решите уравнение:

\[ 2x^2 - 3x + 1 = 0. \]

В ответ запишите больший из корней.

Решение. Решим уравнение, вычислив дискриминант. Имеем:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1; \] \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = 0.5. \]

Мы получили два решения: 0.5 и 1. Большим корнем является 1.

Ответ: \( 1 \).

📌 Пример 5. Решите уравнение:

\[ x^2 - 5x - 6 = 0. \]

В ответ запишите меньший из корней.

Решение. Воспользуемся теоремой Виета. Имеем:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5, \\ x_1 \cdot x_2 = -6. \end{cases} \]

Рассмотрим, какие варианты произведения двух решений удовлетворяют теореме Виета:

\( -1 \cdot 6 = -6 \), то есть \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 6 \).
\( 1 \cdot (-6) = -6 \), то есть \( x_1 = -6 \) и \( x_2 = 1 \).
\( -2 \cdot 3 = -6 \), то есть \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 3 \).
\( 2 \cdot (-3) = -6 \), то есть \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 2 \).

Из этих четырех вариантов, только решения \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 6 \) дадут в сумме 5.
Меньшим корнем является \(-1\).

Ответ: \( -1 \).

📌 Пример 6. Решите уравнение:

\[ \frac{1}{3}x^2 - 27 = 0. \]

В ответ запишите больший из корней.

Решение. В данном уравнении присутствует обыкновенная дробь. Некоторых такое может ввести в ступор. На самом деле ничего тут трудного нет. Просто надо избавиться от этой дроби от этого знаменателя. Каким образом? В уравнениях мы можем умножать или делить обе части уравнения одновременно на одно и то же число. На какое число надо домножить обе части, чтобы избавиться от тройки в знаменателе. Логично, что надо домножить на 3. Давайте это сделаем:

\[ \frac{1}{3}x^2 - 27 = 0 \quad \mid \cdot 3 \] \[ x^2 - 81 = 0; \] \[ x^2 = 81; \] \[ x = \pm \sqrt{81} = \pm 9. \]

Мы получили два решения: \(-9\) и \(9\). Большим корнем является \(9\).

Ответ: \( 9 \).

🧠 Главные правила решения квадратных уравнений:

Неполные уравнения — решаются разложением на множители или переносом.
Полные уравнения — через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \).
Если \( D > 0 \) — два корня: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Если \( D = 0 \) — один корень: \( x = -\frac{b}{2a} \).
Если \( D < 0 \) — корней нет.
Теорема Виета (для приведённого уравнения): \( x_1 + x_2 = -b \), \( x_1 \cdot x_2 = c \).