📐 Одночлены. Стандартный вид. Подобные одночлены

📌 Определение 1. Одночлены — это выражение, состоящее из чисел и каких-либо переменных, которые перемножаются между собой.

Примеры одночленов:

\[ x \cdot y, \quad 2 \cdot x \cdot y, \quad 4 \cdot x^2 \cdot z \quad \text{И т. д.} \]

📘 Примечание. Обычно буквенную часть одночленов записывают без знака умножения, то есть \[ xy, \quad 2xy, \quad 4x^2z \quad \text{И т. д.} \]

Обычно в примерах приводятся одночлены стандартного вида. Как обычный одночлен привести к стандартному виду?

📌 Определение 2. Стандартный вид одночлена — это одночлен, у которого сперва записан числовой коэффициент, а затем записывается буквенная часть, и у которого произведение одинаковых переменных записывается в виде степени.

Разберем несколько примеров:

\[ 5a \cdot a \cdot b = 5a^2b; \] \[ 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 6x^2y^3. \]

📌 Определение 3. Подобные одночлены — это одночлены, у которых одинаковая буквенная часть.

Подобные одночлены можно складывать и вычитать. То есть

\[ 5x + x = 6x; \] \[ 7a^2b - 3a^2b = 4a^2b; \] \[ 4xy + 3xy + 10a - 6a = 7xy + 4a. \]

📘 Примечание. Подобные одночлены складываются по распределительному закону арифметики. Данный закон выглядит следующим образом: \[ a(b + c) = ab + ac, \quad a(b - c) = ab - ac. \]

То есть, если мы складываем \(7xy + 3xy\), то буквенную часть можно вынести за скобки \(xy(7 + 3)\). В итоге мы получим одночлен \(10xy\).

📌 Определение 4. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных.

Найдем степени нескольких одночленов:

1) \(7xy\), у переменной \(x\) первая степень, у переменной \(y\) первая степень, значит, степень одночлена равна \(1 + 1 = 2\).

2) \(4a^2b\), у переменной \(a\) вторая степень, у переменной \(b\) первая степень, значит, степень одночлена равна \(2 + 1 = 3\).

Одночлены можно умножать и делить друг на друга.

📐 Умножение одночленов.

При умножении одночленов перемножаются их коэффициенты и складываются степени одноимённых переменных. Пример:

\[ 2x^2yz \cdot 4x^3y = 2 \cdot 4 \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot y \cdot y \cdot z = 8x^5y^2z. \]

📐 Деление одночленов.

При делении одночленов делятся их коэффициенты и вычитаются степени одноимённых переменных. Пример:

\[ (10x^4y) : (2x^2y) = (10 : 2)(x^4 : x^2)(y : y) = 5x^2. \]

📘 Примечание: В исходном тексте была опечатка ("складываются" вместо "вычитаются"). При делении степени вычитаются.

🧠 Краткое резюме:

Одночлен — произведение чисел и переменных.
Стандартный вид — числовой коэффициент, затем буквенная часть, одинаковые переменные — в виде степени.
Подобные одночлены — одинаковая буквенная часть.
Степень одночлена — сумма показателей всех переменных.
Умножение — коэффициенты перемножаются, степени складываются.
Деление — коэффициенты делятся, степени вычитаются.