Иван ПеровМатематика • ОГЭ • ЕГЭ
← Назад

Линейные уравнения. Что такое уравнение?

📖 Оглавление

Вводная часть

Для начала разберемся с понятием уравнения, что это такое?

📌 Определение. Уравнение — это равенство, содержащее одну или более неизвестных переменных, которые необходимо найти.

Примеры уравнений:

\[ x + 5 = 0, \] \[ \frac{1}{x} + 3 = 2x, \] \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \dots \]
⚠️ Важно! Чтобы решить уравнение, нам нужно найти такой \( x \), при котором левая и правая часть уравнения будут равны. Разберем на примере уравнения: \( x - 5 = 0 \). Нужно найти такой \( x \), при котором левая часть будет равна нулю. Это возможно при \( x = 5 \).
Проверим: \( 5 - 5 = 0 \) — верно.

Это было простое уравнение. Обычно в задачах встречаются уравнения, в которых тяжело сразу подобрать подходящий \( x \). Чтобы решать такие уравнения, надо знать способы их решения. Начнем наше знакомство с уравнениями с линейных уравнений.

Линейные уравнения

Линейные уравнения имеют следующий вид:

\[ ax + b = 0, \]

где \( x \) — неизвестная переменная, а \( a \) — коэффициент при \( x \), \( b \) — свободный член уравнения.

Коэффициенты \( a \) и \( b \) могут быть любыми числами. В уравнении \( 3x + 2 = 0 \): коэффициент \( a \) равен 3, а коэффициент \( b \) равен 2.

📐 Алгоритм решения линейных уравнений:
  1. Нужно упростить уравнение. Если в уравнении есть скобки — надо их раскрыть. Если есть дробные числа — избавиться от знаменателей.
  2. Надо перенести числа с неизвестной переменной в левую часть равенства, а остальные числа в правую часть.
  3. Привести подобные слагаемые. После этого мы получим уравнение вида \( ax = b \).
  4. Избавиться от коэффициента перед \( x \). То есть получить значение \( x \):
    \[ x = \frac{b}{a}. \]

После этих действий мы получим требуемое значение \( x \). А теперь на примере разберем подробно каждое действие.

📌 Пример 1. Решите уравнение: \( 5(x + 5) - 10 = 3x + 3 \).

Решение. Будем решать уравнение по алгоритму.

1. В этом уравнении есть скобки. Надо их раскрыть.

📘 Примечание. Раскрытие скобок происходит по распределительному закону арифметики. Данный закон выглядит следующим образом: \[ a(b + c) = ab + bc, \quad a(b - c) = ab - bc. \]

Вернемся к уравнению:

\[ 5(x + 5) - 10 = 3x + 3; \] \[ 5x + 5 \cdot 5 - 10 = 3x + 3; \] \[ 5x + 25 - 10 = 3x + 3; \] \[ 5x + 15 = 3x + 3. \]

2. Далее нам надо перенести числа с неизвестной переменной в левую часть равенства, а остальные числа в правую часть. При переносе из одной части в другую надо поменять знак у числа. То есть:

\[ 5x + 15 = 3x + 3 \quad \Leftrightarrow \quad 5x - 3x = 3 - 15. \]
📘 Почему при переносе меняется знак у чисел? Рассмотрим равенство \( 2 = 2 \) и перенесем двойку справа в левую часть без изменения знака. Имеем: \( 2 + 2 = 0 \) или \( 4 = 0 \). Получилось неверное равенство. Если мы поменяем знак, получим: \( 2 - 2 = 0 \) или \( 0 = 0 \) — верно.

3. Что значит привести подобные слагаемые? Это значит, что нужно сложить отдельно числа с неизвестной переменной и отдельно оставшиеся числа. То есть:

\[ 5x - 3x = -15 + 3; \] \[ 2x = -12. \]
📘 Примечание. Почему мы так сложили числа с \( x \)? Тут сработал распределительный закон, только уже в обратную сторону, то есть \( 5x - 3x = x(5 - 3) = 2x \).

4. Осталось найти \( x \), получаем:

\[ 2x = -12; \] \[ x = -\frac{12}{2} = -6. \]

Ответ: \( x = -6 \).

📚 Задания для самостоятельного решения

📌 Задание. Решите следующие уравнения:

a) \( 5x = 25 \);
б) \( 3(2 + x) = 21 \);
в) \( 4(5 - 2x) + 5x = x + 2 \).
📌 Посмотреть ответы (проверь себя)

a) \( 5x = 25 \Leftrightarrow x = 25 : 5 = 5 \). Ответ: \( x = 5 \).

б) \( 3(2 + x) = 21 \Leftrightarrow 6 + 3x = 21 \Leftrightarrow 3x = 15 \Leftrightarrow x = 5 \).

в) \( 4(5 - 2x) + 5x = x + 2 \Leftrightarrow 20 - 8x + 5x = x + 2 \Leftrightarrow 20 - 3x = x + 2 \Leftrightarrow -3x - x = 2 - 20 \Leftrightarrow -4x = -18 \Leftrightarrow x = 4.5 \).

🧠 Главное правило решения линейных уравнений: Все действия направлены на то, чтобы собрать все \( x \) в одной части уравнения, а числа — в другой, а затем разделить на коэффициент при \( x \).