√ Квадратный корень. Как вычислить квадратный корень. Свойства корней

📖 Оглавление

Квадратный корень
Как вычислить квадратный корень?
Свойства корней
Извлечение целого числа из-под корня

Квадратный корень

Дадим определение квадратному корню.

📌 Определение 1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( a \) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( a \).

Что значит это определение? Разберем на конкретном примере. Допустим, надо вычислить \( \sqrt{16} \). Надо найти такое число, которое при возведении в квадрат даст 16. Это число 4. То есть

\[ \sqrt{16} = 4. \]

Почему в определении говорится, что число под корнем должно быть неотрицательным? Почему не существует квадратного корня отрицательного числа? Все очень просто! Поскольку найти корень – значит найти число, квадрат которого равен подкоренному выражению, а любое число в квадрате – всегда неотрицательное. Например,

\[ (-2)^2 = 4, \quad (-3)^2 = 9 \dots \]

Следовательно, число под корнем должно быть обязательно неотрицательным.

📘 Замечание. Квадратный корень можно записать в виде степени одной второй. То есть

\[ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}. \]

Если у нас под корнем находится квадрат числа, то корень и степень "сократятся". Пример:

\[ \sqrt{9^2} = (9^2)^{\frac{1}{2}} = 9^{2\cdot\frac{1}{2}} = 9. \]

Как вычислить квадратный корень?

Чтобы вычислить квадратный корень, надо хорошо знать, чему равны квадраты чисел. То есть, надо знать, что \( 12^2 = 144 \) и, соответственно, \( \sqrt{144} = 12 \). Для того, чтобы в первое время было легче извлекать квадратный корень, можно воспользоваться таблицей квадратов.

Свойства корней

Разберем свойства корней.

Свойство 1. Корень произведения равен произведению корней:

\[ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \]

где \( a \) и \( b \) — неотрицательные числа.

📌 Пример 1. Вычислите значение выражения \( \sqrt{81 \cdot 64} \).

Решение. Если напрямую умножать 81 на 64, получится большое число и самостоятельно найти корень такого числа очень тяжело. Можно воспользоваться приведенным способом, получим:

\[ \sqrt{81 \cdot 64} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{64} = 9 \cdot 6 = 54. \]

Ответ: 54.

📌 Пример 2. Вычислите значение выражения \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} \).

Решение. Квадратный корень из трёх и двенадцати вычислить без калькулятора не получится. Но можно воспользоваться свойством, тогда получим:

\[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6. \]

Ответ: 6.

Свойство 2. Корень дроби равен корню числителя, делённому на корень знаменателя:

\[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \]

где \( a \) и \( b \) — неотрицательные числа.

📌 Пример 3. Вычислите значение выражения \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} \).

Решение. Воспользуемся свойством и получим:

\[ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{3}{12}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}. \]

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

Свойство 3. Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем:

\[ (\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}, \]

где \( a \) — неотрицательное число.

📌 Пример 4. Вычислите значение выражения \( (\sqrt{4})^4 \).

Решение. Воспользуемся свойством и получим:

\[ (\sqrt{4})^4 = \sqrt{4^4} = \sqrt{256} = 16. \]

Ответ: 16.

Извлечение целого числа из-под корня

Очень часто в примерах нам будет необходимо извлечь целое число из-под корня, чтобы, например, мы смогли после преобразований нескольких корней получить в итоге одно целое число. Как извлечь целое число из-под корня? Для этого можно число под корнем представить в виде произведения двух чисел, одно из которых будет являться квадратом какого-либо числа. С помощью первого свойства мы сможем извлечь это число. Разберем пример.

📌 Пример 5. Вычислите значение выражения \( \sqrt{44} \cdot \sqrt{99} \).

Решение. Конечно, можно воспользоваться первым свойством и находить корень числа \( 44 \cdot 99 = 4356 \). Но найти корень числа 4356 без таблицы квадратов проблематично. Можно выделить целое число из-под корня. Имеем:

\[ \sqrt{44} \cdot \sqrt{99} = \sqrt{4 \cdot 11} \cdot \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{11} \] \[ = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{11} = 6 \cdot (\sqrt{11})^2 = 6 \cdot 11 = 66. \]

Ответ: 66.

🧠 Краткое резюме свойств корней:

\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) — корень произведения.
\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) — корень дроби.
\( (\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n} \) — возведение корня в степень.
\( \sqrt{a^2} = |a| \), но для \( a \ge 0 \): \( \sqrt{a^2} = a \).
\( \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \) — связь корня со степенью.