Иван ПеровМатематика • ОГЭ • ЕГЭ
← Назад

Квадратные уравнения. Как вычислять дискриминант? Теорема Виета

📖 Оглавление

Введение

Мы уже прошли линейные уравнения, в них переменная \( x \) была без степеней. Если в уравнении появляется \( x \) в степени 2, то такие уравнения уже будут называться квадратными.

Общий вид квадратного уравнения:

\[ ax^2 + bx + c = 0, \]

где \( x \) — переменная; \( a \), \( b \), и \( c \) — некоторые коэффициенты.

Квадратные уравнения разделяют на приведенные и неполные. Неполные квадратные уравнения — это квадратные уравнения, в которых коэффициент \( b \) и/или \( c \) равны нулю. Приведем примеры таких уравнений.

1. Приведенные уравнения:

\[ x^2 + 3x - 4 = 0, \quad x^2 - 5x + 6 = 0 \dots \]

2. Неполные уравнения:

\[ x^2 + 5x = 0, \quad x^2 - 4 = 0 \dots \]

Давайте сразу же попробуем решить уравнение

\[ x^2 - 4 = 0. \]

Перенесем \(-4\) в правую часть, получим

\[ x^2 = 4. \]

Какой должен быть \( x \), чтобы мы могли получить четверку. Мы можем возвести 2 в квадрат и получить 4, а также возвести \(-2\) в квадрат и тоже получить 4. То есть

\[ x = \pm \sqrt{4} = \pm 2. \]

Следовательно, данное уравнение имеет два решения — 2 и \(-2\). Сделаем вывод.

📌 Решение неполного квадратного уравнения вида \( ax^2 = c \) является \( x = \pm \sqrt{\dfrac{c}{a}} \)
📘 Комментарий. Почему отрицательное число в квадрате всегда дает положительное число? Для этого надо вспомнить определение степени. Степень числа показывает, сколько раз мы должны умножить число на само себя. То есть, что такое \( a^2 \) — это произведение \( a \cdot a \). Значит, если мы возводим отрицательное число в квадрат, мы умножаем друг на друга два отрицательных числа, тем самым получая положительное число. Например: \((-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4\).

Какими способами можно решить уравнение?

  1. Разложить на множители и решить два линейных уравнения.
  2. Посчитать дискриминант и найти решение уравнения.
  3. Воспользоваться теоремой Виета.

Разберем каждый способ решения.

Разложение на множители

Что значит разложить на множители? Если говорить простыми словами — это когда у нас есть одно большое выражение, и мы его представляем в виде произведения нескольких выражений поменьше. Например:

\[ a^2 - ab = a(a - b); \] \[ 3a^3 + 6a^2 - 12a = 3a(a^2 + 2a - 4); \] \[ x^2 + 3x - 4 = x^2 + 4x - x - 4 = x(x + 4) - (x + 4) = (x + 4)(x - 1). \]
📐 Алгоритм решения квадратных уравнений через разложение на множители:
  1. Переносим все переменные и числа в левую часть уравнения (справа должен получиться 0).
  2. Выполняем разложение на множители.
  3. Каждую скобку приравниваем к нулю и решаем получившиеся линейные уравнения. Решения этих линейных уравнений будут решением исходного квадратного уравнения.
📌 Пример 1.

Решите уравнение \( x^2 = 4x \).

Решение. Следуем алгоритму.

1. Переносим все в левую часть:

\[ x^2 = 4x; \] \[ x^2 - 4x = 0. \]

2. Разложим на множители:

\[ x^2 - 4x = 0; \] \[ x(x - 4) = 0. \]

3. Каждую скобку приравняем к нулю и решим получившиеся линейные уравнения:

1) имеем: \( x = 0 \);
2) имеем: \( x - 4 = 0 \) или \( x = 4 \).

Исходное уравнение имеет два решения \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

Дискриминант

Дискриминант нам нужен для того, чтобы определить сколько будет решений в уравнении, и потом с помощью него найти эти решения.

Рассмотрим квадратное уравнение

\[ ax^2 + bx + c = 0. \]

Подставляя коэффициенты квадратного уравнения в формулу дискриминанта, мы получим некоторое число. Далее возможны три ситуации. Когда дискриминант больше нуля, равен нулю или меньше нуля. Рассмотрим каждый случай:

1) \( D < 0 \). Если дискриминант меньше нуля, значит, уравнение не имеет решений.
📌 Пример 2.

Решите уравнение \( 3x^2 + 2x + 1 = 0 \).

Решение. Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8. \]

Дискриминант получился отрицательным, значит, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) \( D = 0 \). Если дискриминант равен нулю, значит, уравнение имеет одно решение. Это решение находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a}. \]
📌 Пример 3.

Решите уравнение \( x^2 - 4x + 4 = 0 \).

Решение. Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0. \]

Дискриминант равен нулю, значит, исходное уравнение имеет одно решение:

\[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2. \]

Ответ: 2.

📘 Комментарий. Можно заметить, что левую часть уравнения можно возвести в полный квадрат, то есть \[ x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot 2x + 2^2 = (x - 2)^2. \] Это преобразование мы сделали по формуле \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \] Следовательно, мы получили уравнение \((x - 2)^2 = 0\), откуда сразу можно найти решение: \(x = 2\).
3) \( D > 0 \). Если дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два решения. Эти решения равны \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}. \]
📌 Пример 4.

Решите уравнение \( x^2 - 5x = 6 \).

Решение. Приведем уравнение к виду \( ax^2 + bx + c = 0 \). То есть перенесём всё в левую часть, имеем:

\[ x^2 - 5x - 6 = 0. \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49. \]

Дискриминант получился положительным, значит, уравнение имеет два решения:

\[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1, \] \[ x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6. \]

Ответ: \(-1\) и \(6\).

Теорема Виета

Теоремой Виета очень удобно пользоваться, когда в полном квадратном уравнении коэффициент перед \(x^2\) равен 1. Как звучит эта теорема?

Для уравнения \[ x^2 + bx + c = 0, \] которое имеет два решения, справедливо следующее: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -b, \\ x_1 \cdot x_2 = c. \end{cases} \]

То есть нам нужно подобрать такие два решения, сумма которых будет равна \(-b\), а произведение \(c\).

📘 Комментарий. Лучше всегда начать перебирать решения в произведении, поскольку будет меньше вариантов для перебора. Разберем пример.
📌 Пример 5.

Решите уравнение \( x^2 - 10x + 21 = 0 \).

Решение. Воспользуемся теоремой Виета:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 10, \\ x_1 \cdot x_2 = 21. \end{cases} \]

Рассмотрим, какие варианты произведения двух решений удовлетворяют теореме Виета:

  1. \( 1 \cdot 21 = 21 \), то есть \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 21 \).
  2. \( -1 \cdot -21 = 21 \), то есть \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -21 \).
  3. \( 3 \cdot 7 = 21 \), то есть \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 7 \).
  4. \( -3 \cdot (-7) = 21 \), то есть \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = -7 \).

Из этих четырех вариантов, только решения 3 и 7 дадут в сумме 10.

Ответ: 3 и 7.

🧠 Краткое резюме:
  • Если \( D > 0 \) — два корня: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
  • Если \( D = 0 \) — один корень: \( x = -\frac{b}{2a} \).
  • Если \( D < 0 \) — корней нет.
  • По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -b \), \( x_1 \cdot x_2 = c \) (для приведённого уравнения \( x^2 + bx + c = 0 \)).