Сокращение дробей. Приведение к общему знаменателю — Иван Перов

Сокращение дробей и приведение к общему знаменателю

Давайте разберемся в сокращении дробей. Вообще разделяют два вида дробей: сократимые и несократимые. Приведем пример таких дробей:

несократимые:

\[ \frac{1}{2},\quad \frac{3}{5},\quad \frac{7}{12}, \quad \ldots \]

сократимые:

\[ \frac{2}{4},\quad \frac{4}{6},\quad \frac{8}{18}, \quad \ldots \]

📌 Делители числа — это такие числа, на которые можно поделить исходное другое число. Покажем на примере. Рассмотрим число 6. Шесть можно разделить на 1, 2, 3 и 6 — это и есть делители числа.

📌 НОД (наибольший общий делитель). НОД ищется для двух и более чисел. Покажем на примере. Найдем НОД чисел 6 и 8. Для этого выпишем делители этих чисел:

6: 1, 2, 3 и 6;
8: 1, 2, 4 и 8.

Общими делителями шести и восьми являются числа 1 и 2. Наибольшим общим делителем является число 2.

📘 Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. \[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}, \quad \text{где } n \text{ — любое число.} \] Пример: \[ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dots \]

Вернемся к сокращению дробей. Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их НОД. Рассмотрим пример.

📌 Пример 1.

Сократите дробь \( \frac{4}{6} \).

Решение. Наибольший общий делитель чисел 4 и 6 равен двум. Поскольку НОД(4, 6) = 2, разделим числитель и знаменатель на два и получим

\[ \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]

В задаче может попасться сложная дробь, для которой сложно подобрать НОД. Тогда можно сокращать постепенно, то есть делить на их наименьшие общие делители до тех пор, пока дробь не станет несократимой. Рассмотрим пример.

📌 Пример 2. Сократите дробь

Сократите дробь \( \frac{56}{116}. \)

Решение. Заметим, что числитель и знаменатель четные числа, можно разделить на два. Получим числа 28 и 58. Данные числа можно также разделить на два, получив 14 и 29. Полученные числа не имеют общих делителей. Таким образом мы получим несократимую дробь. То есть

\[ \frac{56}{116} = \frac{28 \cdot 2}{58 \cdot 2} = \frac{28}{58} = \frac{14 \cdot 2}{29 \cdot 2} = \frac{14}{29}. \]

Теперь разберемся с тем, как находить общий знаменатель дробей. Для этого нам нужно знать, что такое НОК (наименьшее общее кратное).

📌 НОК (наименьшее общее кратное) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел. Найдем НОК для чисел 6 и 8. Для этого выпишем несколько кратных чисел шести и восьми. Числу 6 кратно числа 12, 18, 24, 30... Числу 8 кратно числа 16, 24, 32... Следовательно, НОК(6, 8) = 24.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, надо найти НОК этих знаменателей. Приведем пример.

📌 Пример 3.

Приведите дроби \( \frac{1}{4} \) и \( \frac{2}{3} \) к общему знаменателю.

Решение. Знаменатели этих дробей равны 3 и 4. Найдем НОК этих чисел. НОК(3, 4) = 12. Следовательно, число 12 будет общим знаменателем исходных дробей. Перед тем, как записать дроби с новым знаменателем, надо не забыть про числитель. Ведь основное свойство дроби говорит, что если у нас увеличивается знаменатель, то должен увеличиваться числитель. В первой дроби знаменатель увеличится в 3 раза, значит, числитель также увеличится в 3 раза. Аналогично со второй дробью. Имеем:

\[ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{12}. \]

Таким образом, \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\) и \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\).

📚 Задачи для самостоятельного решения

📌 Задание 1. Сократите дроби:

a) \( \frac{8}{12} \);

б) \( \frac{12}{26} \);

в) \( \frac{18}{48} \);

г) \( \frac{52}{76} \).

📌 Задание 2. Приведите к общему знаменателю дроби:

a) \( \frac{3}{4} \) и \( \frac{1}{12} \);

б) \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{1}{2} \);

в) \( \frac{4}{7} \) и \( \frac{1}{4} \).

📌 Посмотреть ответы (проверь себя)

Задание 1:
a) \(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\) (НОД = 4)
б) \(\frac{12}{26} = \frac{6}{13}\) (НОД = 2)
в) \(\frac{18}{48} = \frac{3}{8}\) (НОД = 6)
г) \(\frac{52}{76} = \frac{13}{19}\) (НОД = 4)

Задание 2:
a) \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\), \(\frac{1}{12} = \frac{1}{12}\) (общий знаменатель 12)
б) \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\), \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\) (общий знаменатель 6)
в) \(\frac{4}{7} = \frac{16}{28}\), \(\frac{1}{4} = \frac{7}{28}\) (общий знаменатель 28)