Системы линейных уравнений. Метод подстановки

Что из себя представляет система уравнений? Система уравнений состоит из более, чем двух уравнений, в которых помимо переменной \( x \), содержатся другие переменные (например: \( y, z, t \) и т. д.).

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из двух уравнений с двумя переменными \( x \) и \( y \):

\[ \begin{cases} x + y = 18, \\ x - y = 12. \end{cases} \]

Какое будет решение у данной системы? Мы должны найти значение переменных \( x \) и \( y \).

Для того, чтобы решить такую систему, можно воспользоваться двумя способами решения: метод подстановки и метод сложения. Самым базовым методом является метод подстановки, его как раз и разберем подробнее.

✏️ Метод подстановки

Чтобы разобраться в чем суть данного метода, решим поэтапно систему уравнений, приведенную выше.

Поскольку одно уравнение с двумя переменными мы решать не умеем, то мы должны добиться того, чтобы одно из уравнений было с одной переменной. Что для этого надо сделать? Название метода говорит само за себя. Мы можем выразить, допустим, в одном уравнении переменную \( x \) как какое-то выражение и подставить его во второе, и решить второе уравнение относительно \( y \).

Скорее всего, читатель, увы, не очень понял, как это все выглядит и как это решать. Разберем наглядный пример.

Имеем:

\[ \begin{cases} x + y = 18, \\ x - y = 12. \end{cases} \]

1. Выразим во втором уравнении переменную \( x \), получим: \[ \begin{cases} x + y = 18, \\ x = 12 + y. \end{cases} \]

2. Что мы получили? Переменная \( x \) равна выражению \( 12 + y \). Теперь подставим это выражение в первое уравнение вместо \( x \): \[ \begin{cases} 12 + y + y = 18, \\ x = 12 + y. \end{cases} \]

3. Вот Вам и суть метода подстановки. Мы получили линейное уравнение относительно \( y \). Такое мы решать уже умеем. Получаем: \[ 12 + y + y = 18 \iff 2y = 6 \iff y = 3. \]

4. Мы нашли чему равен \( y \). Теперь система выглядит следующим образом: \[ \begin{cases} y = 3, \\ x = 12 + y. \end{cases} \]

5. Дело осталось за малым. Мы знаем, чему равен \( y \) и можем подставить его значение во второе уравнение, тем самым мы найдем чему равен \( x \): \[ \begin{cases} y = 3, \\ x = 12 + 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 15, \\ y = 3. \end{cases} \]

Система уравнений решена! Ответ надо записывать следующим образом: \( (x; y) \). В нашем случае: \( (15; 3) \).

📌 Пример 1. Решите систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2x + y = 12, \\ 5x - 3y = 6. \end{cases} \]

Решение. Имеем:

\[ \begin{cases} 2x + y = 12, \\ 5x - 3y = 6 \end{cases} \iff \begin{cases} y = 12 - 2x, \\ 5x - 3(12 - 2x) = 6 \end{cases} \] \[ \iff \begin{cases} y = 12 - 2x, \\ 5x - 36 + 6x = 6 \end{cases} \iff \begin{cases} y = 12 - 2x, \\ 11x = 42 \end{cases} \] \[ \iff \begin{cases} x = \dfrac{42}{11}, \\[6pt] y = 12 - 2 \cdot \dfrac{42}{11} \end{cases} \iff \begin{cases} x = \dfrac{42}{11}, \\[6pt] y = \dfrac{132}{11} - \dfrac{84}{11} = \dfrac{48}{11}. \end{cases} \]

Ответ: \( \left( \dfrac{42}{11}; \dfrac{48}{11} \right) \).

📌 Пример 2. Решите систему уравнений:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = 4, \\ 2x + 4y = 16. \end{cases} \]

Решение. Имеем:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = 4, \\ 2x + 4y = 16 \end{cases} \iff \begin{cases} 3x - 2y = 4, \\ 2x = 16 - 4y. \end{cases} \]

Далее, чтобы выразить \( x \), разделим левую и правую часть второго уравнения на 2, получим:

\[ 2x = 16 - 4y \quad \text{и} \quad x = \frac{16 - 4y}{2}. \]

📘 Комментарий. Напомним следующее свойство дроби: \[ \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}. \] Тогда \[ x = \frac{16 - 4y}{2} = \frac{16}{2} - \frac{4y}{2} = 8 - 2y. \]

Вернемся к системе:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = 4, \\ 2x = 16 - 4y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3(8 - 2y) - 2y = 4, \\ x = 8 - 2y \end{cases} \] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} 24 - 6y - 2y = 4, \\ x = 8 - 2y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 24 - 8y = 4, \\ x = 8 - 2y \end{cases} \] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} -8y = -20, \\ x = 8 - 2y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = \dfrac{5}{2}, \\[6pt] x = 8 - 2 \cdot \dfrac{5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = \dfrac{5}{2}, \\[6pt] x = 3. \end{cases} \]

Следовательно, ответом к исходной системе является пара чисел: \( (3; \frac{5}{2}) \).

Ответ: \( (3; \frac{5}{2}) \).

📚 Задания для самостоятельного решения

1) \[ \begin{cases} y = 3, \\ 2x + 3 = 7. \end{cases} \]

2) \[ \begin{cases} x + y = 5, \\ 2x - y = 7. \end{cases} \]

3) \[ \begin{cases} 2y + 4x = 12, \\ 2x + 6y = 16. \end{cases} \]

📌 Посмотреть ответы (проверь себя)

1) Из \( y = 3 \) подставляем во второе: \( 2x + 3 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \). Ответ: \( (2; 3) \).

2) Выразим \( x = 5 - y \) из первого, подставим: \( 2(5 - y) - y = 7 \Rightarrow 10 - 2y - y = 7 \Rightarrow -3y = -3 \Rightarrow y = 1, x = 4 \). Ответ: \( (4; 1) \).

3) Из первого уравнения: \( 2y + 4x = 12 \Rightarrow y + 2x = 6 \Rightarrow y = 6 - 2x \). Подставим во второе: \( 2x + 6(6 - 2x) = 16 \Rightarrow 2x + 36 - 12x = 16 \Rightarrow -10x = -20 \Rightarrow x = 2 \), тогда \( y = 6 - 4 = 2 \). Ответ: \( (2; 2) \).

🧠 Главное правило метода подстановки: Выразите одну переменную через другую из любого уравнения и подставьте полученное выражение в оставшееся уравнение. После нахождения одной переменной, подставьте её значение в выражение для второй переменной.